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試題

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題目列表(包括答案和解析)

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a(chǎn)≥-8 6．64 7．（1）(3)(4) 8．6 9．　 10． 11．1　 12． 13．(－∞，1)

14．，提示：設(shè)，則，故為增函數(shù)，由a＜b，有，也可以考慮特例，如f(x)=x²

二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

15．（1）

5分

即

為等腰三角形. 8分

（2）由（I）知

12分

14分

16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長(zhǎng)為2，

錐體高度為1。

設(shè)AC，BD和交點(diǎn)為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

OE//PB， 3分

EO面EAC，PB面EAC內(nèi)， PB//面AEC。 6分

（2）過(guò)O作OFPA垂足為F ,

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=， 8分

過(guò)B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF. 10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,進(jìn)而得PF=

即當(dāng)時(shí)，PA面BDF， 12分

此時(shí)F到平面BDC的距離FH=

14分

17．(1) 4分

橢圓方程為 7分

（2） 10分

＝2 14分

所以P在DB延長(zhǎng)線與橢圓交點(diǎn)處，Q在PA延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)處，得到最大值為． 15分

18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=， 4分

=EF=DM+DN-MF-EN=+－－

= （） 7分

（2）“平板車要想順利通過(guò)直角走廊”即對(duì)任意角（），平板車的長(zhǎng)度不能超過(guò)，即平板車的長(zhǎng)度；記，有=，

===， 10分

此后研究函數(shù)的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導(dǎo)，以確定函數(shù)在上的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)取得最小值。 15分

19． (1)點(diǎn)(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即S_n＝n²＋n，

a_n＝n＋5． 3分

∵b_n₊₂－2b_n₊₁＋b_n＝0(nÎN^*)，∴b_n₊₂－b_n₊₁＝ b_n₊₁－b_n＝…＝ b₂－b₁．

∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，∵b₃＝11，它的前9項(xiàng)和為153，設(shè)公差為d，

則b₁＋2d＝11，9b₁＋×d＝153，解得b₁＝5，d＝3．∴b_n＝3n＋2． 6分

(2)由(1)得，c_n＝＝＝(－)，

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝(1－)． 9分

∵T_n＝(1－)在nÎN^*上是單調(diào)遞增的，∴T_n的最小值為T₁＝．

∵不等式T_n＞對(duì)一切nÎN^*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數(shù)k的值為18．11分

(3) nÎN^*，f(n)＝＝

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m＋15為偶數(shù)；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m＋15為奇數(shù)．

若f(m＋15)＝5f(m)成立，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m為奇數(shù))

或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m為偶數(shù))． 13分

解得m＝11．所以當(dāng)m＝11時(shí)，f(m＋15)＝5f(m)． 16分

20．（1）． 2分

　當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增； 3分

　當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

時(shí)，，在上單調(diào)遞增． 5分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 6分

（2）充分性：a=1時(shí)，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

即。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在上由唯一的一個(gè)零點(diǎn)x=1． 9分

必要性： =0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即．

令，．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，，

在上單調(diào)遞減。， =0只有唯一解a=1．

=0在上有唯一解時(shí)必有a=1． 12分

綜上：在a>0時(shí)， =0在上有唯一解的充要條件是a=1．

（3）證明：∵1<x<2,∴.

令，∴，14分

由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，，∴，∴．

∴，∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴，

∴�！�． 16分

附加題答案

1．解：如圖，連結(jié)OC，因,因此,由于,

6ec8aac122bd4f6e 所以，又得; 5分

又因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ,得,那么,

從而，于是。 10分

2．解：設(shè)A=，由題知=，=3

即， 5分

∴ ∴A= 10分

3．解：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）故直線的普通方程為 3分

因?yàn)闉闄E圓上任意點(diǎn)，故可設(shè)其中.

因此點(diǎn)到直線的距離是 7分

所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值. 10分

4. 證（1）　

∵，，

∴| f(x₁)－f(x₂)|＜| x₁－x₂| 5分

（2），∴f(a)＋f(b) ≤

∵ ，

∴ 10分

5.解：（1）為實(shí)數(shù)，即為實(shí)數(shù)， ∴b＝3 2分

又依題意，b可取1，2，3，4，5，6

故出現(xiàn)b＝3的概率為

即事件“為實(shí)數(shù)”的概率為 5分

（2）由已知， 6分

可知，b的值只能取1、2、3

當(dāng)b＝1時(shí)，，即a可取1，2，3

當(dāng)b＝2時(shí)，，即a可取1，2，3

當(dāng)b＝3時(shí)，，即a可取2

由上可知，共有7種情況下可使事件“”成立 9分

又a，b的取值情況共有36種

故事件“”的概率為 10分

6.解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱 ∴CC₁⊥底面ABC ∴CC₁⊥BC

∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A₁C₁CA

6ec8aac122bd4f6e ∴A₁B與平面A₁C₁CA所成角的正切值 3分

（2）分別延長(zhǎng)AC，A₁D交于G. 過(guò)C作CM⊥A₁G 于M，連結(jié)BM

∵BC⊥平面ACC₁A₁ ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內(nèi)射影

∴BM⊥A₁G ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角

平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點(diǎn)

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

,

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為 6分

（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD .

其位置為AC中點(diǎn)，證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影為C₁F ，F(xiàn)為AC中點(diǎn) ∴C₁F⊥A₁D ∴EF⊥A₁D

同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A₁BD

∵E為定點(diǎn)，平面A₁BD為定平面,點(diǎn)F唯一 10分

解法二：（1）同解法一 3分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住 C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點(diǎn), 建立如圖所示的坐標(biāo)系得

C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）

C₁（0，0，2） B₁（2，0，2） A₁（0，2，2）

D（0，0，1） E（1，0，2）

設(shè)平面A₁BD的法向量為

平面ACC₁A₁的法向量為=（1，0，0）

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為 6分

（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD 由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)//

∴存在唯一一點(diǎn)F（0，1，0）滿足條件. 即點(diǎn)F為AC中點(diǎn) 10分

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