題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
.(Ⅰ)設(shè)
,求函數(shù)
的最值;(Ⅱ)若對(duì)于任意的
,都有
成立,求
的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,當(dāng)時(shí),
,
.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判定單調(diào)性和極值,進(jìn)而得到最值。
第二問(wèn)中,∵,
,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即
分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,
.
當(dāng)在
上變化時(shí),
,
的變化情況如下表:
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- |
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+ |
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1/e |
∴時(shí),
,
.
(Ⅱ)∵,
,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即
.
∴對(duì)于任意的,原不等式恒成立,等價(jià)于
對(duì)
恒成立,
∵對(duì)于任意的時(shí),
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
∴只需,即
,解之得
或
.
因此,的取值范圍是
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