題目列表(包括答案和解析)
已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設,若對任意
,
,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數的單調遞增區(qū)間是(1,3);單調遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式
恒成立,問題等價于
只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數的單調遞增區(qū)間是(1,3);單調遞減區(qū)間是
........4分
(II)若對任意不等式
恒成立,
問題等價于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,
;
當b>2時,;
............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以實數b的取值范圍是
[番茄花園1] 為了能更好地了解鯨的生活習性,某動物研究所在受傷的鯨身上安裝了電子監(jiān)測裝置,從海岸放歸點A處(如圖所示)把它放歸大海,并沿海岸線由西到東不停地對鯨進行了40分鐘的跟蹤觀測,每隔10分鐘踩點測得數據如下表(設鯨沿海面游動)。然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測。已知AB=15km,觀測站B的觀測半徑為5km.
觀測時刻t (分鐘) |
跟蹤觀測點到放歸點距離a(km) |
鯨位于跟蹤觀測點正北方向的距離b(km) |
10 |
1 |
1 |
20 |
2 |
|
30 |
3 |
|
40 |
4 |
2 |
(I)根據表中數據:(1)計算鯨沿海岸線方向運動的速度,(2)寫出a、b滿足的關系式,并畫出鯨的運動路線簡圖;
(II)若鯨繼續(xù)以(I)-(2)中的運行路線運動,則鯨經過多少分鐘(從放歸時計時),可進入前方觀測站B的觀測范圍。()
[番茄花園1]18.
OM |
OA |
ON |
OB |
x |
x+1 |
x |
x+1 |
1 |
f(x) |
1 |
2 |
OP |
OP1 |
OP2 |
OPn |
OP |
OQ |
1 |
2 |
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