某大學(xué)高等數(shù)學(xué)老師上學(xué)期分別采用了A，B兩種不同的教學(xué)方式對(duì)甲、乙兩個(gè)大一新生班進(jìn)行教改試驗(yàn)（兩個(gè)班人數(shù)均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺(jué)性都一樣）．現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名同學(xué)的上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，得到莖葉圖如圖：
（Ⅰ）從乙班這20名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名高等數(shù)學(xué)成績(jī)不得低于85分的同學(xué)，求成績(jī)?yōu)?0分的同學(xué)被抽中的概率；
（Ⅱ）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？”

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)

下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）
（Ⅲ）從乙班高等數(shù)學(xué)成績(jī)不低于85分的同學(xué)中抽取2人，成績(jī)不低于90分的同學(xué)得獎(jiǎng)金100元，否則得獎(jiǎng)金50元，記ξ為這2人所得的總獎(jiǎng)金，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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（本小題滿分12分）
某大學(xué)高等數(shù)學(xué)老師上學(xué)期分別采用了兩種不同的教學(xué)方式對(duì)甲、乙兩個(gè)大一新生班進(jìn)行教改試驗(yàn)（兩個(gè)班人數(shù)均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺(jué)性都一樣）。現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名同學(xué)的上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，得到莖葉圖如下：

（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均分高？
（Ⅱ）從乙班這20名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名高等數(shù)學(xué)成績(jī)不得低于85分的同學(xué)，求成績(jī)?yōu)?0分的同學(xué)被抽中的概率；
（Ⅲ）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/8/1y1mp3.png" style="vertical-align:middle;" />列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？”

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)

下面臨界值表僅供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：其中） 
（Ⅳ）從乙班高等數(shù)學(xué)成績(jī)不低于85分的同學(xué)中抽取2人，成績(jī)不低于90分的同學(xué)得獎(jiǎng)金100元，否則得獎(jiǎng)金50元，記為這2人所得的總獎(jiǎng)金，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

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（本小題滿分12分）
某大學(xué)高等數(shù)學(xué)老師上學(xué)期分別采用了兩種不同的教學(xué)方式對(duì)甲、乙兩個(gè)大一新生班進(jìn)行教改試驗(yàn)（兩個(gè)班人數(shù)均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺(jué)性都一樣）。現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名同學(xué)的上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，得到莖葉圖如下：

（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均分高？
（Ⅱ）從乙班這20名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名高等數(shù)學(xué)成績(jī)不得低于85分的同學(xué)，求成績(jī)?yōu)?0分的同學(xué)被抽中的概率；
（Ⅲ）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004625723371.png" style="vertical-align:middle;" />列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？”

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)

下面臨界值表僅供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：其中） 
（Ⅳ）從乙班高等數(shù)學(xué)成績(jī)不低于85分的同學(xué)中抽取2人，成績(jī)不低于90分的同學(xué)得獎(jiǎng)金100元，否則得獎(jiǎng)金50元，記為這2人所得的總獎(jiǎng)金，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

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說(shuō)明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分.

1. B   2. C    3. B   4.C   5.D    6.A   7. B   8. A    9. C   10. C

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.

11. 1       12.      13. 2       14.         15. ①③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16. 本題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能

力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

         兩邊同時(shí)平方得

     .                      ………………………………………（4分）

     又，

     所以.              ………………………………………（6分）

       （Ⅱ）因?yàn)?sub>，，

             所以，得.

             又,知.             …………………（9分）

                  .              ………………………………………（13分）

17. 本題主要考查線線位置關(guān)系，二面角的求法等基本知識(shí)，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證明：連結(jié)，

側(cè)棱底面ABC，

，又.

平面.

又平面，

 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………（3分）

，

四邊形為正方形，

.

， 平面 .

又平面，. 　　　　　　　　…………（6分）

（Ⅱ）.

平面.

又， .

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz，設(shè)AP=x，則

                、、、.

        　　    知面的一個(gè)法向量為，　　　　　      ……（9分）

設(shè)面的一個(gè)法向量為，

        　　     ， .

        　　   由   得

        　　   令， 　          ………（11分）

               依題意：=

               解得（不合題意，舍去），

    　         時(shí)，二面角的大小為. 　 …………（13分）

18．本題主要考查數(shù)列與不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，

考查應(yīng)用意識(shí). 滿分13分.

    解：設(shè)第一年（今年）的汽車總量為，第n年的汽車總量為，則

，

…

.

數(shù)列構(gòu)成的首項(xiàng)為80000，公差為2000的等差數(shù)列，

        .　　 ………………………（4分）

若洗車行A從今年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年可以收回購(gòu)買凈化設(shè)備的成本. 則（）-20000n≥900000，………………………（8分）

        整理得，

        因?yàn)?sub>，所以　.

答：至少要經(jīng)過(guò)6年才能收回成本.　…………………………………………（13分）

19．本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、等比數(shù)列求和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）依題意得：，解得.

所以拋物線方程為 . ………………………………………………（3分）

（Ⅱ）若，即直線AB垂直于x軸，不防設(shè)，

             由又由拋物線對(duì)稱性可得：.

　　 又，得  ，故S_△ABD=.　　 …………………………（4分）

若，設(shè)直線AB方程：，

由方程組消去得：.（※）

依題意可知：.

由已知得，.  ……………………………………（5分）

由，得，

即，整理得.

所以 . 　　　 …………………………………………（6分）

中點(diǎn)，

所以點(diǎn)，

依題意知.　　

又因?yàn)榉匠蹋ā�）中判別式，得.

所以 ，又，

所以. 

又為常數(shù)，故的面積為定值.  …………………………………（9分）

（Ⅲ）依題意得：…，. 

故…

 ＜.  　　　　　………………………………（13分）

　　注：本題第（Ⅱ）問(wèn)另解，參照本標(biāo)準(zhǔn)給分；第（Ⅲ）問(wèn)若用定積分證明，同樣給分.

20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

性質(zhì)的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?sub>.

當(dāng)時(shí)， ，.

令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .

又，

所以的極小值為，無(wú)極大值 . …………………………（3分）

（Ⅱ）

 . 　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 . 

若，

①當(dāng)時(shí)，，

令，得或；

令，得.

②當(dāng)時(shí)，.

③當(dāng)時(shí)，得，

令，得或；

令，得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.　

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.　 …………………………（9分）

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，

由，知時(shí)， . ， .

依題意得： 對(duì)一切正整數(shù)成立. 　……………（11分）

令 ，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.

又在區(qū)間單調(diào)遞增，得，

故，又為正整數(shù)，得，

當(dāng)時(shí)，存在，，

對(duì)所有滿足條件.

所以，正整數(shù)的最大值為32. 　　　　…………………………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法與變換等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思

         想. 滿分7分.

         解：PQ＝，

             PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

            .

　　        所以　　　　　　　　　　　　　　　………………………（3分）

　　         直線任取點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，

　　         故，又，得

　　         所以　　　　           ………………………………………（7分）

（2）本題主要考查直線極坐標(biāo)方程和橢圓參數(shù)方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

        解：由題意知直線和橢圓方程可化為：

            ，               ①

            ．                ②　　　　　  …………………………（２分）

①②聯(lián)立，消去得：，解得，．

設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則

　        ．

故所求的弦長(zhǎng)為．　　　　      &n