如圖1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，設，將△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小為，連接A₁B、A₁P（如圖2）．
（1）求證：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）當EF⊥平面A₁EB時，求平面A₁BP與平面A₁EF所成銳二面角的余弦值．

20090109

三：解答題

17．解：（1）由已知

   ∴ 

   ∵  

∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC²=BD²+CD²,                                                  

    又CD²=AC²－AD², 所以BC²=BD²+AC²－AD²=49，                                               

所以                                                                                    

（2）在△ABC中，   

∴            

     而   

如果，

則    

∴                                                                   

18．解：（1）點A不在兩條高線和上，

 不妨設AC邊上的高：，AB邊上的高：

所以AC，AB的方程為：，

，即和

由，

由

由此可得直線BC的方程為：。

（2），

由到角公式得：，

同理可算，。

19．解：（1）令

   則，因，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，

時，，即

   （2）令

    則得

    所以在（，―1）遞減，（―1，0）遞增，

（0，1）遞減，（1，）遞增。

故在處取得極小值，且

故存在，使原方程有4個不同實根。

20．解（1）連結(jié)FO，F是AD的中點，

  OFAD，

EO平面ABCD

由三垂線定理，得EFAD，

又AD//BC，

EFBC                          

連結(jié)FB，可求得FB=PF=，則EFPB，

又PBBC=B，

 EF平面PBC。 

（2）連結(jié)BD，PD平面ABCD，過點E作EOBD于O，

連結(jié)AO，則EO//PD

且EO平面ABCD，所以AEO為異面直線PD、AE所成的角              

E是PB的中點，則O是BD的中點，且EO=PD=1

在Rt△EOA中，AO=，

   所以：異面直線PD與AE所成的角的大小為

（3）取PC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則EG是FG在平面PBC內(nèi)的射影

PD平面ABCD，

PDBC，又DCBC，且PDDC=D，

BC平面PDC

BCPC，

EG//BC，則EGPC，

FGPC

所以FGE是二面角F―PC―B的平面角                                   

在Rt△FEG中，EG=BC=1，GF=

，

所以二面角F―PC―B的大小為   

21．解（1）， 

，

   ，令，

所以在遞增

，可得實數(shù)的取值范圍為

（2）當時，

   所以：，

即為 

可化為

由題意：存在，時，

恒成立

作，

只要

由 

而

所以：，

由，知

22．證明：（1）由已知得

（2）由（1）得

=