(Ⅲ)若x是△ABC的一個內角.且.試判斷△ABC的形狀. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知a , b都是正數,△ABC在平面直角坐標系xOy內, 以兩點A (a ,0 )和B (0,b )為頂點的正三角形,且它的第三個頂點C在第一象限內.

(1)若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}內, 試求變量 a , b 的約束條件,并在直角坐標系aOb內畫出這個約束條件表示的平面區(qū)域;

(2)當(a, b )在(1)所得的約束條件內移動時,求△ABC面積S的最大值,并求此時(a , b)的值.(14分)

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已知a , b都是正數,△ABC在平面直角坐標系xOy內, 以兩點A (a ,0 )和B (0,b )為頂點的正三角形,且它的第三個頂點C在第一象限內.

(1)若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}內, 試求變量 a , b 的約束條件,并在直角坐標系aOb內畫出這個約束條件表示的平面區(qū)域;

(2)當(a, b )在(1)所得的約束條件內移動時,求△ABC面積S的最大值,并求此時(a , b)的值.(14分)

 

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已知函數y=|cosx+sinx|.
(1)畫出函數在x∈[數學公式]的簡圖;
(2)寫出函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間;試問:當x為何值時,函數有最大值?最大值是多少?
(3)若x是△ABC的一個內角,且y2=1,試判斷△ABC的形狀.

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已知函數y=|cosx+sinx|.
(1)畫出函數在x∈[]的簡圖;
(2)寫出函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間;試問:當x為何值時,函數有最大值?最大值是多少?
(3)若x是△ABC的一個內角,且y2=1,試判斷△ABC的形狀.

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已知函數y=|cosx+sinx|.
(1)畫出函數在x∈[]的簡圖;
(2)寫出函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間;試問:當x為何值時,函數有最大值?最大值是多少?
(3)若x是△ABC的一個內角,且y2=1,試判斷△ABC的形狀.

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.; 10.(-1,2); 11.0;  12.(或);

13.(1);(2)16;(3).

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

14.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)∵

時,其圖象如右圖所示.---4分

(Ⅱ)函數的最小正周期是,其單調遞增區(qū)間是;由圖象可以看出,當時,該函數的最大值是.--------------7分

(Ⅲ)若x是△ABC的一個內角,則有,∴

,得

 ∴ ,,故△ABC為直角三角形. --------------12分

15.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)

       --------6分

(Ⅱ)當時,

 ----------12分

 

16.(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條

側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形,高為CC1=6,故所求體積是

       ------------------------4分

 (Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形,于是

  故所拼圖形成立.---8分

(Ⅲ)方法一:設B1E,BC的延長線交于點G,

 連結GA,在底面ABC內作BH⊥AG,垂足為H,

連結HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中,,則

,,

,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二:以C為原點,CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖3),∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).

 設向量n=(x,y,z),滿足n⊥,n⊥

于是,解得.       --------------------12分

  取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17.(本小題滿分14分)

解:分別記該考生考上第1、2、3批分數線為事件A、B、C,被相應志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 則以上各事件相互獨立.  -------------------------------------2分

(Ⅰ)“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數線和僅上第2批分數線兩種情況,故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)設該考生所報志愿均未錄取的概率為,則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

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  • 表 二

    批次

    a

    b

    第2批

    0.9

    0.05

    第3批

    0.048

    0.0020

    從表中可以看出,該考生被第2批a志愿錄取的概率最大,故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分

     

    18.(本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)∵,當時,.

         ∴在[1,3]上是增函數.---------------------------------3分

         ∴當時,,即 -2≤≤26.

          ∴存在常數M=26,使得,都有≤M成立.

           故函數是[1,3]上的有界函數.---------------------------6分

    (Ⅱ)∵. 由≤1,得≤1

       ∴ 

           令,則.

          當時,有,

    在[0,+∞上單調遞減.   -------------------------------10分

    故當t=0 時,有

    ,當t→+∞時,→0,

    ,從而有≤0,且.  ∴0≤a≤1;                               故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分

     

    19.(本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,

     又拋物線的準線為:.

    設雙曲線M的方程為,依題意有,

    ,又.

    ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分

    (Ⅱ)設直線與雙曲線M的交點為、兩點

    聯立方程組 消去y得 

    、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根, ∴

    ,從而有

    ,.

    ,

    .

    ① 若,則有 ,即 .

    ∴當時,使得. -----------------------------8分

    ② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱,則必有

    因此,當m=0時,不存在滿足條件的k;------------------------------------10分

    時,由

      

    ∵A、B中點在直線上,

    代入上式得

    ;又, ∴

    代入并注意到,得 .

    ∴當時,存在實數,使A、B兩點關于直線對稱.--14分

    如上各題若有其它解法,請評卷老師酌情給分.

     

     

     

     


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