8(Ⅱ)求該考生能被錄取的概率,(Ⅲ)如果已知該考生高考成績已達(dá)到第2批分?jǐn)?shù)線卻未能達(dá)到第1批分?jǐn)?shù)線.請(qǐng)計(jì)算其最有可能在哪個(gè)志愿被錄取?(以上結(jié)果均保留二個(gè)有效數(shù)字) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

高校招生是根據(jù)考生所填報(bào)的志愿，從考試成績所達(dá)到的最高第一志愿開始，按順序分批錄取，若前一志愿不能錄取，則依次給下一個(gè)志愿（同批或下一批）錄取.某考生填報(bào)了三批共6個(gè)不同志愿（每批2個(gè)），并對(duì)各志愿的單獨(dú)錄取以及能考上各批分?jǐn)?shù)線的概率進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如“表一”所示（表中的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的概率，a、b分別為第一、第二志愿）.

表一

批次

高考上線

a

b

第1批

0.6

0.8

0.4

第2批

0.8

0.9

0.5

第3批

0.9

0.95

0.8

（Ⅰ）求該考生能被第2批b志愿錄取的概率；

（Ⅱ）求該考生能被錄取的概率；

（Ⅲ）如果已知該考生高考成績已達(dá)到第2批分?jǐn)?shù)線卻未能達(dá)到第1批分?jǐn)?shù)線，請(qǐng)計(jì)算其最有可能在哪個(gè)志愿被錄��？（以上結(jié)果均保留二個(gè)有效數(shù)字）

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一名高二學(xué)生盼望進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，不放棄能考入該大學(xué)的任何一次機(jī)會(huì)．已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄�。�
①2010年2月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)考試通過（集訓(xùn)隊(duì)從2009年10月省數(shù)學(xué)競賽壹等獎(jiǎng)獲得者中選拔，通過考試進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)則能被該大學(xué)提前錄�。�；
②2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分?jǐn)?shù)達(dá)重點(diǎn)線；
③2010年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線）．
該名考生競賽獲省一等獎(jiǎng)．自主招生考試通過．高考達(dá)重點(diǎn)線．高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線等事件的概率如下表：
事件 省數(shù)學(xué)競獲一等獎(jiǎng) 自主招生考試通過 高考達(dá)重點(diǎn)線 高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線
概率 0.5 0.7 0.8 0.6
如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎(jiǎng)，該學(xué)生估計(jì)自己進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.4．
（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率．

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（本小題滿分12分）一名高二學(xué)生盼望進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，不放棄能考入該大學(xué)的任何一次機(jī)會(huì)。已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄�。�

① 2010年2月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)考試通過（集訓(xùn)隊(duì)從2009年10月省數(shù)學(xué)競賽壹等獎(jiǎng)獲得者中選拔，通過考試進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)則能被該大學(xué)提前錄�。�；

② 2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分?jǐn)?shù)達(dá)重點(diǎn)線；

③ 2010年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線）。

該名考生競賽獲省一等獎(jiǎng)、自主招生考試通過、高考達(dá)重點(diǎn)線、高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線等事件的概率如下表：

事件

省數(shù)學(xué)競獲一等獎(jiǎng)

自主招生考試通過

高考達(dá)重點(diǎn)線

高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線

概率

0.5

0.7

0.8

0.6

如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎(jiǎng)，該學(xué)生估計(jì)自己進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.4。

（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；

（2）求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率。

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（本小題滿分12分）一名高二學(xué)生盼望進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，不放棄能考入該大學(xué)的任何一次機(jī)會(huì)。已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄取：

① 2010年2月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)考試通過（集訓(xùn)隊(duì)從2009年10月省數(shù)學(xué)競賽壹等獎(jiǎng)獲得者中選拔，通過考試進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)則能被該大學(xué)提前錄�。�；

② 2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分?jǐn)?shù)達(dá)重點(diǎn)線；

③ 2010年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線）。

該名考生競賽獲省一等獎(jiǎng)、自主招生考試通過、高考達(dá)重點(diǎn)線、高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線等事件的概率如下表：

事件

省數(shù)學(xué)競獲一等獎(jiǎng)

自主招生考試通過

高考達(dá)重點(diǎn)線

高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線

概率

0.5

0.7

0.8

0.6

如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎(jiǎng)，該學(xué)生估計(jì)自己進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.4。

（1）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；

（2）求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率。

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.； 10.（-1，2）； 11.0；  12.（或）；

13.（1） 或 ；（2）16；（3）.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

14.（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵

當(dāng)時(shí)，其圖象如右圖所示.---4分

（Ⅱ）函數(shù)的最小正周期是，其單調(diào)遞增區(qū)間是；由圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值是.--------------7分

（Ⅲ）若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，則有，∴

由，得

∴  ∴ ，，故△ABC為直角三角形. --------------12分

15．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

       --------6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

 ----------12分

 

16．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形，高為CC1=6，故所求體積是

       ------------------------4分

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長為6的正方體，

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形，于是

  故所拼圖形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點(diǎn)G，

 連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，

連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中，，則

，，

，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二：以C為原點(diǎn)，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖3），∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

 設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥，

于是，解得.       --------------------12分

  取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17．（本小題滿分14分）

解：分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線為事件A、B、C，被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨(dú)立.  -------------------------------------2分

（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線和僅上第2批分?jǐn)?shù)線兩種情況，故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）設(shè)該考生所報(bào)志愿均未錄取的概率為，則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

        表 二

        批次

        a

        b

        第2批

        0.9

        0.05

        第3批

        0.048

        0.0020

        從表中可以看出，該考生被第2批a志愿錄取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分

         

        18．（本小題滿分14分）

        解：（Ⅰ）∵，當(dāng)時(shí)，.

             ∴在[1，3]上是增函數(shù).---------------------------------3分

             ∴當(dāng)時(shí)，≤≤，即 -2≤≤26.

              ∴存在常數(shù)M=26，使得，都有≤M成立.

               故函數(shù)是[1，3]上的有界函數(shù).---------------------------6分

        （Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

           ∴ 

               令，則.

              當(dāng)時(shí)，有，

        ∴在[0，+∞上單調(diào)遞減.   -------------------------------10分

        故當(dāng)t=0 時(shí)，有；

        又，當(dāng)t→+∞時(shí)，→0，

        ∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；                               故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分

         

        19．（本小題滿分14分）

        解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

         又拋物線的準(zhǔn)線為：.

        設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，

        故，又.

        ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分

        （Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

        聯(lián)立方程組 消去y得  ，

        ∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根， ∴

        ∴，從而有

        ，.

        又，

        ∴.

        ① 若，則有 ，即 .

        ∴當(dāng)時(shí)，使得. -----------------------------8分

        ② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則必有 ，

        因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；------------------------------------10分

        當(dāng)時(shí)，由 得

          

        ∵A、B中點(diǎn)在直線上，

        ∴ 代入上式得

        ；又， ∴

        將代入并注意到，得 .

        ∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.--14分

        如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分.

         

         

         

         


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