在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數(shù)量積設(shè)向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當(dāng)時，則= 

（2）當(dāng)時，則=

第三問中，解：設(shè),因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數(shù)求解。

（Ⅰ）解：設(shè)向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當(dāng)時，則=；-2分

（2）當(dāng)時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設(shè),因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數(shù)，在遞減，在上遞增，所以從而當(dāng)時，

 

在中，已知 ，面積，

（1）求的三邊的長；

（2）設(shè)是（含邊界）內(nèi)的一點，到三邊的距離分別是

①寫出所滿足的等量關(guān)系；

②利用線性規(guī)劃相關(guān)知識求出的取值范圍.

【解析】第一問中利用設(shè)中角所對邊分別為

由得

    

又由得即 

又由得即 

又       又得

即的三邊長

第二問中，①得

故

②

令依題意有

作圖，然后結(jié)合區(qū)域得到最值。

 

在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=

x

x+1

；
（2）設(shè)f(x)=

x

x+1

，定義函數(shù)F(x)=

1

f(x)

-1(0＜x≤1)，點列P_i（x_i，F(xiàn)（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函數(shù)F（x）的圖象上，且數(shù)列{x_n}是以首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，O為原點，令

OP

=

OP1

+

OP2

+…+

OPn

，是否存在點Q（1，m），使得

OP

⊥

OQ

？若存在，請求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)函數(shù)G（x）為R上偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時G（x）=f（x），又函數(shù)G（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有兩個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)a的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面區(qū)域W中的點的坐標(biāo)（x，y）滿足x²+y²≤4，從區(qū)域W中隨機取點M（x，y）；
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，令ξ=x²+y²，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）已知直線l：y=-x+b（b＞0）與圓x²+y²=4相交所截得的弦長為2

2

，求y≥-x+b的概率．