設(shè)是一常數(shù).過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于相異兩點(diǎn)A.B.以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H.試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上,并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程. Y y2=2px B X QO A 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（04年重慶卷）（12分）

設(shè)是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程

 

 

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精英家教網(wǎng)設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）．試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程．

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設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心），試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程。

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設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）．試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程．

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設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線(xiàn)段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）．試證拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程．

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一、選擇題：每小題5分，共60分.

（1）D     （2）A     （3）D      （4）A     （5）B      （6）C 

（7）C     （8）C     （9）B      （10）B    （11）D      （12）D

二、填空題：每小題4分，共16分.

（13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]

三、解答題：共74分.

（17）（本小題12分）

解：

     

故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是－2；

單增區(qū)間是[]，

（18）（本小題12分）

      解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4

             用AK表示“汽車(chē)通過(guò)第k個(gè)路口時(shí)不停（遇綠燈）”，

則P（AK）=獨(dú)立.

故

 

從而有分布列：

 

            0     1       2        3        4

 

    P                          

            

             （II）

             答：停車(chē)時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率為.

   （I）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

證得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB與PC的公垂線(xiàn).

      （II）解：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)BE，過(guò)O作BE的垂線(xiàn)OH，

        垂足H在BE上.

               易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

               又OH⊥BE，故OH//DE，

               因此OH⊥面MAE.

               連結(jié)AH，則∠HAO是所要求的線(xiàn)AC與面NAE所成的角 

               設(shè)AB=a，則PA=3a， .

               因Rt△ADE~Rt△PDA，故

              

              

（20）（本小題12分）

      解：（I）

      

             因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn).

             （II）因

       

             又由（I）知

            

             代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡(jiǎn)得

       

（21）（本小題12分）

   解法一：由題意，直線(xiàn)AB不能是水平線(xiàn)，  故可設(shè)直線(xiàn)方程為：.

   又設(shè)，則其坐標(biāo)滿(mǎn)足

      由此得  

     

      因此.

      故O必在圓H的圓周上.

      又由題意圓心H（）是AB的中點(diǎn)，故

     

      由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且.

      從而當(dāng)k=0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.

      此時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為：x=2p.

      解法二：由題意，直線(xiàn)AB不能是水平線(xiàn)，故可設(shè)直線(xiàn)方程為：ky=x－2p

      又設(shè)，則其坐標(biāo)滿(mǎn)足

   分別消去x，y得

      故得A、B所在圓的方程

      明顯地，O（0，0）滿(mǎn)足上面方程所表示的圓上，

      又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為

      故

      而前面圓的方程可表示為

      故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過(guò)點(diǎn)O（0，0）.

      又，

      故當(dāng)k=0時(shí)，R2最小，從而圓的面積最小，此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為：x=2p.

      解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上

      又直徑|AB|=

      上式當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.

      此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x=2p.

（22）（本小題14分）

      （I）證法一：當(dāng)不等式成立.

                

                 綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切正整數(shù)成立.

                 證法二：當(dāng)n=1時(shí)，.結(jié)論成立.

                 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即

                 當(dāng)的單增性和歸納假設(shè)有

                

                 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

                 因此，對(duì)一切正整數(shù)n均成立.

                 證法三：由遞推公式得

                

                 上述各式相加并化簡(jiǎn)得 

                

      （II）解法一：

        

                 解法二：

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    I
                     解法三：
                             

                     故.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


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