(II)求取得白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(文) 美國次貸危機引發(fā)2008年全球金融動蕩.波及中國兩大股市.甲.乙.丙三人打算趁目前股市低迷之際“抄底 .若三人商定在圈定的10只股票中各自隨機購買一只(假定購買時每支股票的基本情況完全相同).(I)求甲.乙.丙三人恰好買到同一只股票的概率,(II)求甲.乙.丙三人中至少有兩人買到同一只股票的概率, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

北京市房山區(qū)2011年高三上學(xué)期期末統(tǒng)練試卷（數(shù)學(xué)理）.doc
 

 （本小題共13分）

某同學(xué)設(shè)計一個摸獎游戲：箱內(nèi)有紅球3個，白球4個，黑球5個．每次任取一個，有放回地抽取3次為一次摸獎．至少有兩個紅球為一等獎，記2分；紅、白、黑球各一個為二等獎，記1分；否則沒有獎，記0分．

（I）求一次摸獎中一等獎的概率；

（II）求一次摸獎得分的分布列和期望．

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（本題滿分12分）甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球，現(xiàn)在從甲、乙兩袋中各取出2個球。（I）求取得的4個球均是白球的概率；（II）求取得白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望

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（本題滿分12分）甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球，現(xiàn)在從甲、乙兩袋中各取出2個球。（I）求取得的4個球均是白球的概率；（II）求取得白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望

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袋子中裝有大小形狀完全相同的m個紅球和n個白球，其中m，n滿足m>n≥2且m+n≤l0（m，n∈N+），若從中取出2個球，取出的2個球是同色的概率等于取出的2個球是異色的概率．

(Ⅰ) 求m，n的值；

(Ⅱ) 從袋子中任取3個球，設(shè)取到紅球的個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

【解析】第一問中利用,解得m=6，n=3.

第二問中，的取值為0，1，2，3. P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

得到分布列和期望值

解：（I）據(jù)題意得到        解得m=6，n=3.

（II）的取值為0，1，2，3.

P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

的分布列為

所以E=2

 

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袋中有互不相同的6個球．其中紅球1個，黃球2個，藍(lán)球2個，白球l個．從中隨機地抽取4個球．
（I）求抽取的4個球恰好有四種顏色的概率；
（II）若取得的4球的顏色為四種時記l0分，三種時記8分，兩種時記6分．記隨機變量X為所得的分?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B 

B

理D 文B

D

理D 文C

二．填空題

13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

15. ；                                     16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

三．解答題

17.  解：（I）平移以后得

，又關(guān)于對稱

, *，

當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，

所以，取得最大值時的集合為.…………6分

（II）的最小正周期為； ，

，在[上的值域為.…………12分

18．解：（I）當(dāng)ｎ∈Ｎ時有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

兩式相減得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３�！　撤�

∴＋３＝２（＋３）。

又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

∴數(shù)列｛＋３｝是首項6，公比為2的等比數(shù)列．從而ｃ＝３．　　……６分

 （II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列｛｝中是否存在三項,,,(r<s<t),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,

∵<<,   ∴只能是＋＝２,

∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

即＋＝．∴１＋＝．　

　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均為正整數(shù)，∴式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立．

因此數(shù)列｛｝中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項．　　………12分

19. （理）解：設(shè)從甲袋中取出個白球的事件為，從乙袋中取出個白球的事件為其中＝0，1，2，則，.

（I）,,

所以………………………..6分

（II）分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19．（I）三人恰好買到同一只股票的概率。  ……4分

（II）解法一：三人中恰好有兩個買到同一只股票的概率.……9分

由（I）知，三人恰好買到同一只股票的概率為，所以三人中至少有兩人買到同一只股票的概率。  ……12分

 

20.證明：（I）因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的

平面角，設(shè)為.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而    ……………7分

解法二:以A為坐標(biāo)原點，直線AD、AP分別為y軸、

z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為

所以 設(shè)二面角E-AC-D的平面角為，并設(shè)平面EAC的一個法向量是

得

平面ACD的一個法向量取，……………7分

（Ⅲ）解法一:設(shè)點F是棱PC上的點，如上述方法建立坐標(biāo)系.

則

       令  , 得

解得      即 時，

亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面.

又  BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點時，BF//平面AEC…………12分


 

  
  
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            (證法一) 取PE的中點M，連結(jié)FM，則FM//CE. 
①
            由   知E是MD的中點.
            連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點.
            所以  BM//OE.  ②
            由①、②知，平面BFM//平面AEC.
            又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
            (證法二)因為  
                     

            所以  、、共面.又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. ……12分
             
            21．解：（I）
            由，又 ， 
             ， 
                                            
…… 4分
            （II）
            ，其過點  
                                        
        …… 7分
            （Ⅲ）由（2）知、，
            、、   
            得  
            ①當(dāng)。
            ②當(dāng)時，
            又、  
            即
            所以直線AB的方程為                      
…… 12分
            22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數(shù)形結(jié)合易知y=lnx與y=的交點為A（α，），y=ex與y=的交點為B（β，）；由KAB= ―1，易知αβ=2009          
…………4分
            （Ⅱ）設(shè)=，則
            ∵ ， ∴ 在區(qū)間（1，）上是減函數(shù)    又∵ 
            ∴ ，即，
            ∴在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方        
…9分
            （Ⅲ）當(dāng)時，左邊=，右邊=，不等式成立；
            當(dāng)時，
                        
=
            由已知，  ∴
≥
            ∴ ≥．                 
………………………………14分
            （文科）解：（Ⅰ）當(dāng)cosθ＝0時，函數(shù)f(x)＝4x3＋在R上遞增，故無極值. …3分
            （Ⅱ）函數(shù)f、(x)＝12x2－6xcosθ，令f、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ
            由于0≤θ≤及（1）結(jié)論，f極小(x)＝f(cosθ)＝－cos3θ＋＞0，
            ∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)。…7分
            （Ⅲ）f(x)在區(qū)間(2a－1，a)是增函數(shù)，則或，
            由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，
            即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，
            ∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分
            		
            
	
	
            
		
            


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