解:(Ⅰ)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.由得:---------2分 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

（I）求橢圓的方程；

（II）若過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)＜ 時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問(wèn)中，利用

第二問(wèn)中，利用直線與橢圓聯(lián)系，可知得到一元二次方程中，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。

解：（1）由題意知

 

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（2011•順義區(qū)二模）對(duì)于定義域分別為M，N的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：
函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x)，當(dāng)x∈M且x∈N
f(x)，當(dāng)x∈M且x∉N
g(x)，當(dāng)x∉M且x∈N

（1）若函數(shù)f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，設(shè)bn為曲線y=h（x）在點(diǎn)（an，h（an））處切線的斜率；而{an}是等差數(shù)列，公差為1（n∈N*），點(diǎn)P1為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（an，bn）．求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，2π]，請(qǐng)問(wèn)，是否存在一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）及一個(gè)α的值，使得h（x）=cosx，若存在請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)f（x）的解析式及一個(gè)α的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

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，，為常數(shù)，離心率為的雙曲線：上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為，拋物線：的焦點(diǎn)與雙曲線的一頂點(diǎn)重合。(Ⅰ)求拋物線的方程；（Ⅱ）過(guò)直線：（為負(fù)常數(shù)）上任意一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為、，坐標(biāo)原點(diǎn)恒在以為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問(wèn)中利用由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，故雙曲線的上頂點(diǎn)為，所以拋物線的方程

第二問(wèn)中，為，，，

故直線的方程為，即，

所以，同理可得：

借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即，是方程的兩個(gè)不同的根，所以

由已知易得，即

解：(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，故雙曲線的上頂點(diǎn)為，所以拋物線的方程

（Ⅱ）設(shè)為，，，

故直線的方程為，即，

所以，同理可得：，

即，是方程的兩個(gè)不同的根，所以

由已知易得，即

 

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設(shè)拋物線：（＞0）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于,兩點(diǎn).

(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；

 (Ⅱ)若，，三點(diǎn)在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值.

【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.

【解析】設(shè)準(zhǔn)線于軸的焦點(diǎn)為E，圓F的半徑為，

則|FE|=，=，E是BD的中點(diǎn)，

(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，

設(shè)A(，)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=，

∵的面積為，∴===，解得=2，

∴F(0,1),  FA|=，  ∴圓F的方程為：；

(Ⅱ) 解析1∵，，三點(diǎn)在同一條直線上, ∴是圓的直徑，,

由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－，

∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=，

設(shè)直線的方程為：，代入得，，

∵與只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴=，∴，

∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=，

∴坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值為3.

解析2由對(duì)稱性設(shè)，則

      點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得：

     得：，直線

     切點(diǎn)

     直線

坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為

 

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已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，2），且拋物線的焦點(diǎn)為F1.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">，這樣可知得到。第二問(wèn)中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，此時(shí)，x1 +x2=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時(shí)，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）2+(y+1)2=4

 

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