題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列是等比數(shù)列,,如果是關(guān)于的方程:的兩個實根,(是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求的通項公式;
(2)設(shè):是數(shù)列的前項的和,當時,求的值;
(3)對于(Ⅱ)中的,設(shè),而是數(shù)列的前項的和,求的最大值,及相應的的值。
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問中,設(shè)點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點.
然后設(shè)點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設(shè)為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設(shè)點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分
若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,滿足在上的值域為,則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出;若不是,說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問中,利用定義,判定由題意得,由,所以
第二問中, 由題意得方程有兩實根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點,從而得到t的范圍。
解(I)由題意得,由,所以 (6分)
(II)由題意得方程有兩實根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點。
一、選擇題:本大題共10個小題,每小題5分,共50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
B
A
D
B
A
二、填空題:本大題共4個小題,每小題4分,共16分.
11. 630 12. 2k 13. 14. ①②③
三、解答題:本大題共6個小題,每小題14分,共84分.
15.(4分)
由題意得
16. 有分布列:
0
1
2
3
P
從而期望
17.(1)
又
(2)
(3)DE//AB,
(4)設(shè)BB1的中點為F,連接EF、DF,則EF是DF在平面BB
因為BB
18.(1) 由題意得
(2)
所以直線的斜率為
令,則直線的斜率,
19.(1)由韋達定理得
是首項為4,公差為2的等差數(shù)列。
(2)由(1)知,則
原式左邊=
==右式。故原式成立。
20.令x=y=0,有,令y=-x則得
故(1)得證。
。2)在R上任取x1,x2且,且,
所以在R上單調(diào)遞增;
。3)
由得;
由得;因為,
所以無解,即圓心到直線的距離大于或等于半徑2,只需
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