題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓(常數(shù)
)的左右焦點(diǎn)分別為
,
是直線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
.
(1)若,求
的值;
(2)求的最小值.
【解析】第一問中解:設(shè),
則
由得
由
,得
②
第二問易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或
時(shí),
取最小值
.
解:設(shè),
……………………1分
則,由
得
①……2分
(1)由,得
② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式,消去,并求得
.
………………………3分
(2)解法一:易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
.………………2分
, ……4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或
時(shí),
取最小值
.…2分
解法二:,
………………4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或
時(shí),
取最小值
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
已知點(diǎn)為圓
上的動(dòng)點(diǎn),且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線
,過定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點(diǎn)。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn)
,使得
總能被
軸平分
【解析】第一問中設(shè)為曲線
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
第二問中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線
總有兩個(gè)公共點(diǎn).
然后設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
得到。
(1)設(shè)為曲線
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
. ………………2分
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直線與曲線
總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓
的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
當(dāng)時(shí),(*)對(duì)任意的s都成立,從而
總能被
軸平分.
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得
總能被
軸平分
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