題目列表(包括答案和解析)
現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(Ⅰ)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;
(Ⅱ)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(Ⅲ)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機變量
的分布列與數(shù)學期望
.
【解析】依題意,這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的概率為
.
設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件
則.
(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率
(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則.由于
互斥,故
所以,這個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.
(3)的所有可能取值為0,2,4.由于
互斥,
互斥,故
所以的分布列是
|
0 |
2 |
4 |
P |
|
|
|
隨機變量的數(shù)學期望
.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
,
則,即
.不防設
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線
上是否存在兩點P、Q,使得
是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問當時,
,令
得
,結合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在
軸兩側。
不妨設,則
,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,
,令
得
當變化時,
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
。∴
在
上的最大值為2.
②當時,
.當
時,
,
最大值為0;
當時,
在
上單調(diào)遞增�!�
在
最大值為
。
綜上,當時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為2;
當時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在
軸兩側。
不妨設,則
,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此
。此時
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線
上存在兩點P、Q,使得
是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上
已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中,設出橢圓的方程,然后結合拋物線的焦點坐標得到,又因為
,這樣可知得到
。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用
可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
當m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當m=-3時,直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
袋子中裝有大小形狀完全相同的m個紅球和n個白球,其中m,n滿足m>n≥2且m+n≤l0(m,n∈N+),若從中取出2個球,取出的2個球是同色的概率等于取出的2個球是異色的概率.
(Ⅰ) 求m,n的值;
(Ⅱ) 從袋子中任取3個球,設取到紅球的個數(shù)為,求
的分布列與數(shù)學期望.
【解析】第一問中利用,解得m=6,n=3.
第二問中,的取值為0,1,2,3. P(
=0)=
, P(
=1)=
P(=2)=
, P(
=3)=
得到分布列和期望值
解:(I)據(jù)題意得到
解得m=6,n=3.
(II)的取值為0,1,2,3.
P(=0)=
, P(
=1)=
P(=2)=
, P(
=3)=
的分布列為
所以E=2
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