題型1:計數(shù)原理 例1．完成下列選擇題與填空題 (1)有三個不同的信箱.今有四封不同的信欲投其中.則不同的投法有 種. A．81 B．64 C．24 D．4 (2)四名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍.獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) A．81 B．64 C．24 D．4 (3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽. ①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽.則有不同的參賽方法有 , ②每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加.則有不同的參賽方法有 , ③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽.每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加.則不同的參賽方法有 . 解析:(1)完成一件事是“分步 進(jìn)行還是“分類 進(jìn)行.是選用基本原理的關(guān)鍵.將“投四封信 這件事分四步完成.每投一封信作為一步.每步都有投入三個不同信箱的三種方法.因此:N=3×3×3×3=34=81.故答案選A. 本題也可以這樣分類完成.①四封信投入一個信箱中.有C31種投法,②四封信投入兩個信箱中.有C32(C41·A22+C42·C22)種投法,③四封信投入三個信箱.有兩封信在同一信箱中.有C42·A33種投法..故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(種).故選A. (2)因?qū)W生可同時奪得n項(xiàng)冠軍.故學(xué)生可重復(fù)排列.將4名學(xué)生看作4個“店 .3項(xiàng)冠軍看作“客 .每個“客 都可住進(jìn)4家“店 中的任意一家.即每個“客 有4種住宿法.由分步計數(shù)原理得:N=4×4×4=64. 故答案選B. (3)①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目.而競賽項(xiàng)目對學(xué)生無條件限制.所以類似(1)可得N=34=81(種), ②競賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生.而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會.每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生.共有N=43=64(種), ③等價于從4個學(xué)生中挑選3個學(xué)生去參加三個項(xiàng)目的競賽.每人參加一項(xiàng).故共有C43·A33=24(種). 例2．今有2個紅球.3個黃球.4個白球.同色球不加以區(qū)分.將這9個球排成一列有 種不同的方法. 解析:本題考查排列組合的基本知識.由題意可知.因同色球不加以區(qū)分.實(shí)際上是一個組合問題.共有. 點(diǎn)評:分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段.也是基礎(chǔ)方法.在高中數(shù)學(xué)中.只有這兩個原理.尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處.當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時.用分類的方法可以有效的將之化簡,達(dá)到求解的目的. 題型2:排列問題 例3．在二項(xiàng)式的展開式中.含的項(xiàng)的系數(shù)是( ) A． B． C． D． 答案 B 解析 對于.對于.則的項(xiàng)的系數(shù)是 [點(diǎn)評]:此題重點(diǎn)考察二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù).以及組合思想, [突破]:利用組合思想寫出項(xiàng).從而求出系數(shù), 展開式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和為.不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和為.則的值可能為 A． B． C． D． 答案 D 解析 ..則可取.選D 點(diǎn)評:合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題.首先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景.想清楚我處理時應(yīng)該如何去做. 例4．(1)用數(shù)字0.1.2.3.4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).則其中數(shù)字1.2相鄰的偶數(shù)有 個, (2)電視臺連續(xù)播放6個廣告.其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告.要求首尾必須播放公益廣告.則共有 種不同的播放方式. 解析:(1)可以分情況討論:① 若末位數(shù)字為0.則1.2.為一組.且可以交換位置.3.4.各為1個數(shù)字.共可以組成個五位數(shù),② 若末位數(shù)字為2.則1與它相鄰.其余3個數(shù)字排列.且0不是首位數(shù)字.則有個五位數(shù),③ 若末位數(shù)字為4.則1.2.為一組.且可以交換位置.3.0.各為1個數(shù)字.且0不是首位數(shù)字.則有=8個五位數(shù).所以全部合理的五位數(shù)共有24個. (2)分二步:首尾必須播放公益廣告的有A22種,中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種.從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44＝48. 從而應(yīng)填48. 點(diǎn)評:排列問題不可能解決所有問題.對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助. 題型三:組合問題 例5．甲組有5名男同學(xué).3名女同學(xué),乙組有6名男同學(xué).2名女同學(xué).若從甲.乙兩組中各選出2名同學(xué).則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有 180種 345種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D (2)將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里.使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號.則不同的放球方法有( ) A．10種 B．20種 C．36種 D．52種 [解析]: (2)將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里.使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號.分情況討論:①1號盒子中放1個球.其余3個放入2號盒子.有種方法,②1號盒子中放2個球.其余2個放入2號盒子.有種方法,則不同的放球方法有10種.選A. 點(diǎn)評:計數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ).應(yīng)用計數(shù)原理結(jié)合 例6．(1)某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教.其中甲和乙不同去.則不同的選派方案共有 種, (2)5名志愿者分到3所學(xué)校支教.每個學(xué)校至少去一名志愿者.則不同的分派方法共有( ) (A)150種 200種 (D)280種 解析:(1)可以分情況討論.① 甲去.則乙不去.有=480種選法,②甲不去.乙去.有=480種選法,③甲.乙都不去.有=360種選法,共有1320種不同的選派方案, (2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式.若是1,2,2.則有＝60種.若是1,1,3.則有＝90種.所以共有150種.選A. 點(diǎn)評:排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題.諸如分組問題等, 題型4:排列.組合的綜合問題 例7．平面上給定10個點(diǎn).任意三點(diǎn)不共線.由這10個點(diǎn)確定的直線中.無三條直線交于同一點(diǎn).無兩條直線互相平行.求:(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個數(shù)這些直線交成多少個三角形. 解法一:(1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條. 這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn).由任意兩條直線交一個點(diǎn).共有C452個交點(diǎn).而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此.所以.在原來點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計數(shù), 所以這些直線交成新的點(diǎn)是:C452-10C92=630. (2)這些直線所交成的三角形個數(shù)可如下求:因?yàn)槊總€三角形對應(yīng)著三個頂點(diǎn).這三個點(diǎn)來自上述630個點(diǎn)或原來的10個點(diǎn).所以三角形的個數(shù)相當(dāng)于從這640個點(diǎn)中任取三個點(diǎn)的組合.即C6403=43486080(個). 解法二:(1)如圖對給定的10點(diǎn)中任取4個點(diǎn).四點(diǎn)連成6條直線.這6條直線交3個新的點(diǎn).故原題對應(yīng)于在10個點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍.即這些直線新交成的點(diǎn)的個數(shù)是:3C104=630. (2)同解法一. 點(diǎn)評:用排列.組合解決有關(guān)幾何計算問題.除了應(yīng)用排列.組合的各種方法與對策之外.還要考慮實(shí)際幾何意義. 例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素.并且該直線的傾斜角為銳角.求符合這些條件的直線的條數(shù). 解 設(shè)傾斜角為θ.由θ為銳角.得tanθ=->0,即a.b異號. (1)若c=0.a.b各有3種取法.排除2個重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0).故有3×3-2=7(條), (2)若c≠0.a有3種取法.b有3種取法.而同時c還有4種取法.且其中任兩條直線均不相同.故這樣的直線有3×3×4=36條.從而符合要求的直線共有7+36=43條, 點(diǎn)評:本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題.據(jù)抽樣分析正確率只有0.37.錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類,沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線. 題型5:二項(xiàng)式定理 例9．若, 則的值為 A. 2 B.0 C. D. 答案 C 解析 由題意容易發(fā)現(xiàn) ,則 , 同理可以得出 ,--- 亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式== 故選C. (2)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是 4 (D)6 解析:本題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式的有關(guān)知識, (2)的展開式通項(xiàng)為.因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B, 點(diǎn)評:多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則.在求系數(shù)過程中,盡量先化簡.降底數(shù)的運(yùn)算級別,盡量化成加減運(yùn)算.在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用.例如求常數(shù)項(xiàng).可令.在二項(xiàng)式的展開式中.要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別. 例10． 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ------ 按照以上排列的規(guī)律.第行()從左向右的第3個數(shù)為 ▲ [解析]本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n-1 行共有正整數(shù)1+2+-+(n-1)個.即個.因此第n 行第3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個.即為． [答案] 若為有理數(shù)).則 ( ) A．45 B．55 C．70 D．80 答案 C 解析 本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識.基本運(yùn)算的考查. ∵ . 由已知.得.∴.故選C. (2)已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-,其中=-1.則展開式中常數(shù)項(xiàng)是( ) (A)-45i (B) 45i 45 (2)第三項(xiàng)的系數(shù)為-.第五項(xiàng)的系數(shù)為.由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-可得n＝10.則＝.令40-5r＝0.解得r＝8.故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45.選A, 在的展開式中.的系數(shù)為 7 (用數(shù) 字作答) 答案 7 解析 由條件易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別是.即所求系數(shù)是 點(diǎn)評:本題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法.基礎(chǔ)題, 題型6:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 例11．證明下列不等式: (1)≥()n,(a.b∈{x|x是正實(shí)數(shù)},n∈N); (2)已知a.b為正數(shù).且+=1.則對于n∈N有 (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. 證明:(1)令a=x+δ.b=x-δ.則x=, an+bn=n+n =xn+Cn1xn-1δ+-+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+-(-1)nCnnδn =2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+-) ≥2xn 即≥()n n=an+Cn1an-1b+-+Cnnbn (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+-+Cnnan 上述兩式相加得: 2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+-+Cnk(an-kbk+bn-kak)+-+Cnn(an+bn) (*) ∵+=1.且a.b為正數(shù) ∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4 又∵ an-kbk+bn-kak≥2=2()n ∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22()n+-+Cnn-12()n ∴(a+b)n-an-bn ≥(Cn1+Cn2+-+Cnn-1)·()n ≥(2n-2)·2n =22n-2n+1 點(diǎn)評:利用二項(xiàng)式定理的展開式.可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題.題(1)中的換元法稱之為均值換元.這樣消去δ奇數(shù)次項(xiàng).從而使每一項(xiàng)均大于或等于零.題(2)中.由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等.將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加.這樣充分利用對稱性來解題的方法是利用二項(xiàng)式展開式解題的常用方法. 例12．(1)求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù), (2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+-+Cnn-1×7除以9.得余數(shù)是多少? (3)根據(jù)下列要求的精確度.求1.025的近似值.①精確到0.01,②精確到0.001. 解析:(1)首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù). ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+-+Cn+1n·4+1. ∴其被4整除的余數(shù)為1. ∴被20整除的余數(shù)可以為1.5.9.13.17. 然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù). ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+-+Cnn-1·5+1). ∴被5整除的余數(shù)為4. ∴其被20整除的余數(shù)可以為4.9.14.19. 綜上所述.被20整除后的余數(shù)為9. (2) 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+-+Cnn-1·7 =(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9+(-1)nCnn-1 (i)當(dāng)n為奇數(shù)時 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9-2 ∴除以9所得余數(shù)為7. (ii)當(dāng)n為偶數(shù)時 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+-+(-1)n-1Cnn-1·9 ∴除以9所得余數(shù)為0.即被9整除. 5≈5 =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025 ∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5 ∴①當(dāng)精確到0.01時.只要展開式的前三項(xiàng)和.1+0.10+0.004=1.104.近似值為1.10. ②當(dāng)精確到0.001時.只要取展開式的前四項(xiàng)和.1+0.10+0.004+0.0008=1.10408.近似值為1.104. 點(diǎn)評:(1)用二項(xiàng)式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時.通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開推得所求結(jié)論, (2)用二項(xiàng)式定理來求近似值.可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項(xiàng). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

15、已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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解下列各題，需要用分類加法計數(shù)原理的是

[　　]
A．

M和N都是有限集合，求M∪N元素的個數(shù)

B．

有4個小組，人數(shù)分別為12，12，10，10，從中選1人參加作文比賽，求不同的選法

C．

有4個小組，人數(shù)分別為12，12，10，10，每小組選派1人參加座談會，求不同的選法

D．

已知x∈{1，2，3}，y∈{2，3，4}，計算M(x，y)能表示多少個不同的點(diǎn)

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