題目列表(包括答案和解析)
如圖所示的長(zhǎng)方體中,底面
是邊長(zhǎng)為
的正方形,
為
與
的交點(diǎn),
,
是線段
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大�。�
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運(yùn)用。中利用,又
平面
,
平面
,∴
平面
由
,
,又
,∴
平面
.
可得證明
(3)因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139454539928006_ST.files/image021.png">為面的法向量.∵
,
,
∴為平面
的法向量.∴利用法向量的夾角公式,
,
∴與
的夾角為
,即二面角
的大小為
.
方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點(diǎn)
、
,
∴,又點(diǎn)
,
,∴
∴,且
與
不共線,∴
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ………8分
(Ⅲ)∵,
,∴
平面
,
∴為面
的法向量.∵
,
,
∴為平面
的法向量.∴
,
∴與
的夾角為
,即二面角
的大小為
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證:CN∥平面AMB1;
(Ⅱ)求證: B1M⊥平面AMG.
【解析】本試題主要是考查了立體幾何匯總線面的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中,要證CN∥平面AMB1;,只需要確定一條直線CN∥MP,既可以得到證明
第二問(wèn)中,∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,得到線線垂直,B1M⊥AG,結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以得證。
解:(Ⅰ)設(shè)AB1 的中點(diǎn)為P,連結(jié)NP、MP ………………1分
∵CM
,NP
,∴CM
NP, …………2分
∴CNPM是平行四邊形,∴CN∥MP …………………………3分
∵CN 平面AMB1,MP奐 平面AMB1,∴CN∥平面AMB1…4分
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC,
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1 B1 B,∴B1M⊥AG………………6分
∵CC1⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1 C,
設(shè):AC=2a,則
…………………………8分
同理,…………………………………9分
∵ BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
………………………………10分
如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱
底面ABCD,
,E是PC的中點(diǎn),作
交PB于點(diǎn)F.
(1)證明 平面
;
(2)證明平面EFD;
(3)求二面角的大�。�
【解析】本試題主要考查了立體幾何中線面平行的判定,線面垂直的判定,以及二面角的求解的綜合運(yùn)用試題。體現(xiàn)了運(yùn)用向量求解立體幾何的代數(shù)手法的好處。
在棱長(zhǎng)為的正方體
中,
是線段
的中點(diǎn),
.
(1) 求證:^
;
(2) 求證://平面
;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用,得到結(jié)論,第二問(wèn)中,先判定
為平行四邊形,然后
,可知結(jié)論成立。
第三問(wèn)中,是邊長(zhǎng)為
的正三角形,其面積為
,
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以
,
所以是直角三角形,其面積為
,
同理的面積為
,
面積為
. 所以三棱錐
的表面積為
.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image028.png">,
所以,又
,所以
,
,
所以^
.
………………4分
(2)證明:連接,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image033.png">,
所以為平行四邊形,因此
,
由于是線段
的中點(diǎn),所以
, …………6分
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image035.png">面
,
平面
,所以
∥平面
. ……………8分
(3)是邊長(zhǎng)為
的正三角形,其面積為
,
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以
,
所以是直角三角形,其面積為
,
同理的面積為
,
……………………10分
面積為
. 所以三棱錐
的表面積為
如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點(diǎn)。
(I) 證明:平面⊥平面
(Ⅱ)平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡(jiǎn)單題.
【解析】(Ⅰ)由題設(shè)知BC⊥,BC⊥AC,
,∴
面
, 又∵
面
,∴
,
由題設(shè)知,∴
=
,即
,
又∵, ∴
⊥面
, ∵
面
,
∴面⊥面
;
(Ⅱ)設(shè)棱錐的體積為
,
=1,由題意得,
=
=
,
由三棱柱的體積
=1,
∴=1:1, ∴平面
分此棱柱為兩部分體積之比為1:1
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