（2013•薊縣二模）已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=3，前n項(xiàng)和為S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n∈N^*，n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（Ⅰ）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)cn=-an(bn-

n2

2

-1)，求c₁+c₂+c₃+…+c_n；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{l_n}滿足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在每兩個(gè)l_k與l_k+1之間都插入2^k-1（k=1，2，3，…k∈N^*）個(gè)2，使得數(shù)列{l_n}變成了一個(gè)新的數(shù)列{t_p}，（p∈N^*）試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{t_p}的前m項(xiàng)的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

（2012•陜西）設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）設(shè)n=2，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)x_n是f_n（x）在(

1

2

，1)內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列x₂，x₃，…，x_n?的增減性．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）證明：數(shù)列{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列，并求S_n；
（2）設(shè)bn=

Sn

n3

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

34、已知a＞0，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)y=（x-a）ⁿ，證明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）設(shè)f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，對(duì)任意n≥a，證明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．