在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導(dǎo)的.說明正弦定理.余弦定理與向量有著密切的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應(yīng)的三角函數(shù)值為向量的坐標(biāo).要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題. [例6] 已知角A.B.C為△ABC的三個內(nèi)角.其對邊分別為a.b.c.若＝.a＝2.且·＝． (Ⅰ)若△ABC的面積S＝.求b+c的值． (Ⅱ)求b+c的取值范圍． [分析] 第(Ⅰ)小題利用數(shù)量積公式建立關(guān)于角A的三角函數(shù)方程.再利用二倍角公式求得A角.然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關(guān)于b.c的方程組求取b+c的值,第(Ⅱ)小題正弦定理及三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于B的三角函數(shù)式.進(jìn)而求得b+c的范圍. [解] .＝.且·＝. ∴-cos2+sin2＝.即-cosA＝. 又A∈.∴A＝. 又由S△ABC＝bcsinA＝.所以bc＝4. 由余弦定理得:a2＝b2+c2-2bc·cos＝b2+c2+bc.∴16＝(b+c)2.故b+c＝4. (Ⅱ)由正弦定理得:＝＝＝＝4.又B+C＝p-A＝. ∴b+c＝4sinB+4sinC＝4sinB+4sin. ∵0＜B＜.則＜B+＜.則＜sin(B+)≤1.即b+c的取值范圍是(2.4]. [點(diǎn)評] 本題解答主要考查平面向量的數(shù)量積.三角恒等變換及三角形中的正弦定理.余弦定理.面積公式.三角形內(nèi)角和定理等.解答本題主要有兩處要注意:第(Ⅰ)小題中求b+c沒有利用分別求出b.c的值為解.而是利用整體的思想.使問題得到簡捷的解答,小題的求解中特別要注意確定角B的范圍. [專題訓(xùn)練] 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題12分）

如圖，在三棱錐中，側(cè)面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側(cè)面是正三角形．

（I）求證：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直線是否存在一點(diǎn)，使直線與面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．

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如圖是單位圓上的點(diǎn)，分別是圓與軸的兩交點(diǎn)，為正三角形.

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；

（2）若，四邊形的周長為，試將表示成的函數(shù)，并求出的最大值.

【解析】第一問利用設(shè) 

∵  A點(diǎn)坐標(biāo)為∴   ，

（2）中 由條件知  AB=1，CD=2 ，

在中，由余弦定理得 

  ∴ 

∵       ∴    ，

∴  當(dāng)時，即 當(dāng) 時 ， y有最大值5. .

 

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如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=，CC1=，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）在線段CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥BB1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時，若AC≤CC1，且EF與平面ACC1A1所成的角的正弦值為，求二面角C-AA1-B的余弦值．

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如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=
2
，CC1=
2
，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）在線段CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥BB1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時，若AC≤CC1，且EF與平面ACC1A1所成的角的正弦值為
2
3
，求二面角C-AA1-B的余弦值．

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已知三棱柱ABC－A1B1C1三視圖如下圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，正、側(cè)視圖都是正方形，D、E分別為棱CC1和B1C1的中點(diǎn)．

(1)求異面直線BD與A1E所成角的余弦值；

(2)在棱AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面A1BD，若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由．

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