定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關于點A 對稱的充要條件是 f = 2b 證明:是y = f (x)圖像上任一點.∵點P的對稱點P`也在y = f (x)圖像上.∴ 2b-y = f 即y + f + f = 2b.必要性得證. 設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點.則y0 = f (x0) ∵ f =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b.即2b-y0 = f (2a-x0) . 故點P`(2a-x0.2b-y0)也在y = f (x) 圖像上.而點P與點P`關于點A 對稱.充分性得征. 推論:函數(shù) y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f = 0 定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是 f 即f 推論:函數(shù) y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f 定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于點A 成中心對稱是周期函數(shù).且2| a-b|是其一個周期. ②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 是周期函數(shù).且2| a-b|是其一個周期. ③若函數(shù)y = f (x)圖像既關于點A 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱是周期函數(shù).且4| a-b|是其一個周期. ①②的證明留給讀者.以下給出③的證明: ∵函數(shù)y = f (x)圖像既關于點A 成中心對稱. ∴f =2c.用2b-x代x得: f ] =2c------(*) 又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱. ∴ f 得: f + x]-----x代x得 f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4得: f + x],故y = f (x)是周期函數(shù).且4| a-b|是其一個周期. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點，對函數(shù)y＝f(x)的圖像上任意點P，P關于點A的對稱點Q也在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，則稱函數(shù)y＝f(x)關于點A對稱，A稱為函數(shù)f(x)的一個對稱點．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，可以證明點A(a，b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)＝x3＋3x2圖像的一個對稱點；

(2)函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像是否有對稱點？若存在則求之，否則說明理由．

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已知函數(shù)f(x)是y=－1(x∈R)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像

與函數(shù)y=－的圖像關于y軸對稱，設F(x)=f(x)+g(x).

(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；

(2)試問在函數(shù)F(x)的圖像上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由 

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已知函數(shù)f(x)是y=－1(x∈R)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像
與函數(shù)y=－的圖像關于y軸對稱，設F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；
(2)試問在函數(shù)F(x)的圖像上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由 

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