22．(本小題滿分12分.其中小問3分. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且，

；（1）求數(shù)列的通項公式

（2）設(shè)數(shù)列滿足：，且，求證：（3）若（2）問中數(shù)列 滿足 ，

求證： （其中為自然對數(shù)的底數(shù)）。

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（本小題滿分12分）

為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

 

喜愛打籃球

不喜愛打籃球

合計

男生

 

5

 

女生

10

 

[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]

合計

 

 

50[]

已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整

（2）是否有99.5％的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；

（3）已知喜愛打籃球的10位女生中，還喜歡打羽毛球，

還喜歡打乒乓球，還喜歡踢足球，現(xiàn)在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、

喜歡踢足球的8位女生中各選出1名進行其他方面的調(diào)查，求和不全被選

中的概率．

下面的臨界值表供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

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（本小題滿分12分）某校高一（2）班共有60名同學(xué)參加期末考試，現(xiàn)將其數(shù)學(xué)學(xué)科成績（均為整數(shù)）分成六個分數(shù)段，畫出如下圖所示的部分頻率分布直方圖，請觀察圖形信息，回答下列問題：

     （1）求70～80分數(shù)段的學(xué)生人數(shù)；

     （2）估計這次考試中該學(xué)科的優(yōu)分率（80分及以上為優(yōu)分）

     （3）現(xiàn)根據(jù)本次考試分數(shù)分成下列六段（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組）為提高本班數(shù)學(xué)整體成績，決定組與組之間進行幫扶學(xué)習(xí)．若選出的兩組分數(shù)之差大于30分（以分數(shù)段為依據(jù)，不以具體學(xué)生分數(shù)為依據(jù)），則稱這兩組為“最佳組合”，試求選出的兩組為“最佳組合”的概率．[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]

 

 

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（本小題滿分12分）

道路交通安全法中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當(dāng)20≤Q<80時，為酒后駕車；當(dāng)Q≥80時，為醉酒駕車. 某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了200輛機動車駕駛員的血酒含量，其中查處酒后駕車的有6人，查處醉酒駕車的有2人，依據(jù)上述材料回答下列問題：

（1）分別寫出違法駕車發(fā)生的頻率和醉酒駕車占違法駕車總數(shù)的百分數(shù)；

（2）從違法駕車的8人中抽取2人，求取到醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望，并指出所求期望的實際意義；

（3）飲酒后違法駕駛機動車極易發(fā)生交通事故，假設(shè)酒后駕車和醉酒駕車發(fā)生交通事故的概率分別是0.1和0.25，且每位駕駛員是否發(fā)生交通事故是相互獨立的。依此計算被查處的8名駕駛員中至少有一人發(fā)生交通事故的概率。（精確到0.01）并針對你的計算結(jié)果對駕駛員發(fā)出一句話的倡議.

 

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（本小題滿分12分）

2011年4月28日，世界園藝博覽會已在西安正式開園，正式開園前，主辦方安排了4次試運行，為了解前期準備情況和試運行中出現(xiàn)的問題，以做改進，組委會組織了一次座談會，共邀請20名代表參加，他們分別是游客15人，志愿者5人。

（I）從這20名代表中隨機選出3名談建議，求至少有1人是志愿者的概率；

（II）若隨機選出2名代表發(fā)言，表示其游客人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

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一、DDBCD  CABCA

二、11．1；       12．；     13．           14．；    15．；

16．

三．解答題（本大題共6小題，共76分）

17．解：（1）法一：由題可得；

法二：由題，

故，從而；

法三：由題，解得，

故，從而。

（2），令，

則，

在單調(diào)遞減，

故，

從而的值域為。

18．解：（1）的可能取值為0,1,2,3,4，，

，

，，。

因此隨機變量的分布列為下表所示；

0

1

2

3

4

（2）由⑴得：，

19．法一：（1）連接，設(shè)，則。

因為，所以，故，從而，

故。

又因為，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當(dāng)為邊的中點時，的長度最小，其值為

（2）連接，因為此時分別為的中點，

故，所以均為直角三角形，

從而，所以即為直線與平面所成的角。

因為，所以即為所求；

（3）因，又，所以。

又，故三棱錐的表面積為

。

因為三棱錐的體積，

所以。

法二：（1）因，故。

設(shè)，則。

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)取等號。此時為邊的中點。

故當(dāng)為的中點時，的長度最小，其值為；

（2）因，又，所以。

記點到平面的距離為，

因，故，解得。

因，故；

（3）同“法一”。

法三：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當(dāng)為邊的中點時，的長度最小，其值為；

（2）設(shè)為面的法向量，因，

故。取，得。

又因，故。

因此，從而，

所以；

（3）由題意可設(shè)為三棱錐的內(nèi)切球球心，

則，可得。

與（2）同法可得平面的一個法向量，

又，故，

解得。顯然，故。

20．解：（1）當(dāng)時，。令得，

故當(dāng) 時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，單調(diào)遞減。

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）法一：因，故。

令，

要使對滿足的一切成立，則，

解得；

法二：，故。

由可解得。

因為在單調(diào)遞減，因此在單調(diào)遞增，故。設(shè)，

則，因為，

所以，從而在單調(diào)遞減，

故。因此，即。

（3）因為，所以

即對一切恒成立。

，令，

則。因為，所以，

故在單調(diào)遞增，有。

因此，從而。

所以。

21．解：（1）設(shè)，則由題，

由得，故。

又根據(jù)可得，

即，代入可得，

解得（舍負）。故的方程為；

（2）法一：設(shè)，代入得，

故，

從而

因此。

法二：顯然點是拋物線的焦點，點是其準線上一點。

設(shè)為的中點，過分別作的垂線，垂足分別為，

則。

因此以為直徑的圓與準線相切（于點）。

若與重合，則。否則點在外，因此。

綜上知。

22．證明：（1）因，故。

顯然，因此數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列；

（2）由⑴知，解得；

（3）因為

所以。

又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

故。

綜上可得。（亦可用數(shù)學(xué)歸納法）

 


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