題目列表(包括答案和解析)
(09年東城區(qū)二模理)(14分)
已知函數(shù)=
(其中
為常數(shù),
).利用函數(shù)
構(gòu)造一個(gè)數(shù)列
,方法如下:
對(duì)于給定的定義域中的,令
,
,…,
,…
在上述構(gòu)造過程中,如果(
=1,2,3,…)在定義域中,那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去;如果
不在定義域中,那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止.
�。á瘢┊�(dāng)且
時(shí),求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列,求的取值范圍;
在等差數(shù)列中,
,
,其中
是數(shù)列
的前
項(xiàng)之和,曲線
的方程是
,直線
的方程是
.
求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
當(dāng)直線與曲線
相交于不同的兩點(diǎn)
,
時(shí),令
,
求的最小值;
對(duì)于直線和直線外的一點(diǎn)P,用“
上的點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小值”定義點(diǎn)P到直線
的距離與原有的點(diǎn)到直線距離的概念是等價(jià)的,若曲線
與直線
不相交,試以類似的方式給出一條曲線
與直線
間“距離”的定義,并依照給出的定義,在
中自行選定一個(gè)橢圓,求出該橢圓與直線
的“距離”.
(本小題滿分12分)
已知是首項(xiàng)為19,公差為-2的等差數(shù)列,
為
的前
項(xiàng)和.
(1)當(dāng)n為何值時(shí)最大(用兩種方法);
(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式及其前
項(xiàng)和
。
數(shù)列,滿足
(1)求,并猜想通項(xiàng)公式
。
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求解,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問利用遞推關(guān)系式得到,
,
,
,并猜想通項(xiàng)公式
第二問中,用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。
①對(duì)n=1,等式成立。
②假設(shè)n=k時(shí),
成立,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
,所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立可證。
數(shù)列,滿足
(1),
,
,
并猜想通項(xiàng)公
。 …4分
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。①對(duì)n=1,等式成立。 …5分
②假設(shè)n=k時(shí),
成立,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
,
……9分
所以
所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立 ……11分
由①②知,猜想對(duì)一切自然數(shù)n均成立
某市投資甲、乙兩個(gè)工廠,2011年兩工廠的產(chǎn)量均為100萬噸,在今后的若干年內(nèi),甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸,乙工廠第年比上一年增加
萬噸,記2011年為第一年,甲、乙兩工廠第
年的年產(chǎn)量分別為
萬噸和
萬噸.
(Ⅰ)求數(shù)列,
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍,則將另一工廠兼并,問到哪一年底,其中哪一個(gè)工廠被另一個(gè)工廠兼并.
【解析】本試題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用。
第一問由題得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98
第二問,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查用數(shù)列解決實(shí)際問題,其步驟是建立數(shù)列模型,進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果,再反饋到實(shí)際中去解決問題.由于比較兩個(gè)工廠的產(chǎn)量時(shí)兩個(gè)函數(shù)的形式較特殊,不易求解,故采取了列舉法,數(shù)據(jù)列舉時(shí)作表格比較簡捷.
解:(Ⅰ)由題得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98……6分
(Ⅱ)由于n,各年的產(chǎn)量如下表
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 100 110 120 130 140 150 160 170
bn 100 102 106 114 130 162 226 354
2015年底甲工廠將被乙工廠兼并
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