如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線(xiàn)，過(guò)作圓柱的截面交下底面于.

（1）求證：；

（2）若四邊形ABCD是正方形，求證；

（3）在（2）的條件下，求二面角A-BC-E的平面角的一個(gè)三角函數(shù)值。

【解析】第一問(wèn)中，利用由圓柱的性質(zhì)知：AD平行平面ＢＣＦＥ

又過(guò)作圓柱的截面交下底面于.∥ 

又AE、DF是圓柱的兩條母線(xiàn)

∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ　　　　�。粒摹危牛�

第二問(wèn)中，由線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直。四邊形ABCD是正方形　　又

BC、AE是平面ABE內(nèi)兩條相交直線(xiàn)

 

第三問(wèn)中，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,則在

在 

由（2）可知：為二面角A-BC-E的平面角，所以

證明：（1）由圓柱的性質(zhì)知：AD平行平面ＢＣＦＥ

又過(guò)作圓柱的截面交下底面于.∥ 

又AE、DF是圓柱的兩條母線(xiàn)

∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ　　　　�。粒摹危牛� 

(2) 四邊形ABCD是正方形　　又

BC、AE是平面ABE內(nèi)兩條相交直線(xiàn)

 

(3)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,則在

在 

由（2）可知：為二面角A-BC-E的平面角，所以

 

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線(xiàn)的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過(guò)點(diǎn)A(2，m)可作曲線(xiàn)y＝f(x)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)，利用函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線(xiàn)的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x₀，x₀³－3x₀)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數(shù)∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿(mǎn)足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線(xiàn)方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫(huà)出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

某校高三文科分為四個(gè)班.高三數(shù)學(xué)調(diào)研測(cè)試后, 隨機(jī)地在各班抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì),各班被抽取的學(xué)生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了22人. 抽取出來(lái)的所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率分布條形圖如圖5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05,此分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人.　　　

(1) 問(wèn)各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人?

(2) 在抽取的所有學(xué)生中,任取一名學(xué)生, 求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率.　

已知拋物線(xiàn)C₁：y=x²+2x和C₂：y=-x²+a，如果直線(xiàn)l同時(shí)是C₁和C₂的切線(xiàn)，稱(chēng)l是C₁和C₂的公切線(xiàn)．公切線(xiàn)上兩個(gè)切點(diǎn)間的線(xiàn)段，稱(chēng)為公切線(xiàn)段．

　　(1)問(wèn)a取何值時(shí)，拋物線(xiàn)C₁和C₂有且僅有一條公切線(xiàn)？寫(xiě)出此公切線(xiàn)的方程；

　　(2)若拋物線(xiàn)C₁與C₂有兩條公切線(xiàn)，證明相應(yīng)的兩條公切線(xiàn)段互相平分

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=30+n-n²．

　　(1)問(wèn)-60是否是數(shù)列中一項(xiàng)?

　　(2)當(dāng)n為何值時(shí)，a_n=0，a_n＜0，a_n＞0?