題目列表(包括答案和解析)
三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的_________垂直,那么它也和這條_________垂直.
已知直三棱柱中,
,
,
是
和
的交點(diǎn), 若
.
(1)求的長(zhǎng); (2)求點(diǎn)
到平面
的距離;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中,利用ACCA
為正方形,
AC=3
第二問中,利用面BBC
C內(nèi)作CD
BC
,
則CD就是點(diǎn)C平面A
BC
的距離CD=
,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交A
C于E, 易證ACC
A
為正方形,
AC=3
…………… 5分
(2)在面BBC
C內(nèi)作CD
BC
,
則CD就是點(diǎn)C平面A
BC
的距離CD=
… 8分
(3) 易得AC面A
CB,
過E作EH
A
B于H, 連HC
,
則HC
A
B
C
HE為二面角C
-A
B-C的平面角. ……… 9分
sin
C
HE=
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小為
……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC
、C
A為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C
(0,
0, 0), B
(4,
0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3,
0), A
(0,
0, h), A(0, -3, h), G(2, -
, -
) ……………………… 3分
=(2, -
, -
),
=(0,
-3, -h(huán)) ……… 4分
·
=0,
h=3
(2)設(shè)平面ABC
得法向量
=(a, b, c),則可求得
=(3, 4, 0) (令a=3)
點(diǎn)A到平面A
BC
的距離為H=|
|=
……… 8分
(3) 設(shè)平面ABC的法向量為
=(x, y, z),則可求得
=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C
-A
B-C的大小
滿足cos
=
=
………
11分
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小為
過△ABC內(nèi)部一點(diǎn)M任作一條直線EF,AD⊥EF于D,BE⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有,則點(diǎn)M是△ABC的
A.三條高的交點(diǎn)
B.三條中線的交點(diǎn)
C.三邊中垂線的交點(diǎn)
D.三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
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