題目列表(包括答案和解析)
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設(shè)點(diǎn)是拋物線
的焦點(diǎn),
是拋物線
上的
個不同的點(diǎn)(
).
(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線
上的三個定點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時,若
,
求證:;
(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實(shí)得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因為,所以
,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個當(dāng)
時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過
作
拋物線的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因為上述表達(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這
點(diǎn)都取在
軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以
.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組
個不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)
(
)滿足
”,即:
“當(dāng)時,若
,且點(diǎn)
的縱坐標(biāo)
(
)滿足
,則
”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè)
,
分別過作拋物線
準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對稱”,即:
“當(dāng)時,若
,且點(diǎn)
與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對稱,則
”.此命題為真.(證略)
給出命題:①“a>b”的反設(shè)是“a<b”;②“x=y(tǒng)”的反設(shè)是“x>y”或“x<y”;③“三角形最多有一個鈍角”的反設(shè)是“三角形沒有鈍角”.其中正確命題的個數(shù)為
0
1
2
3
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