長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中.AB=a.BC=b.AA1=c.求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值. 解析:顯然.通過(guò)平移在長(zhǎng)方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個(gè)BD1和B1C所成的角.但同時(shí)又為了使構(gòu)造出的角便于計(jì)算.故可考慮補(bǔ)上一個(gè)與已知長(zhǎng)方體相同的長(zhǎng)方體DCEF-D1C1E1F1.具體作法是:延長(zhǎng)A1D1.使A1D1=D1F1.延長(zhǎng)B1C1至E1.使B1C1=C1E1.連E1F1.分別過(guò)E1.F1.作E1EC1C.F1FD1D.連EF.則長(zhǎng)方體C1D1F1E-CDFE為所作長(zhǎng)方體. ∵ BCD1F1 ∴ BD1CF1 ∴ ∠B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角. ∵ BD2=a2+b2 ∴ Rt△BDD1中.BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 ∴ CF12=BD12=a2+b2+c2 ∵ B1C2=b2+c2.B1F12=a2+4b2 ∴ △B1CF1中 cos∠B1CF1= (1) 當(dāng)c>b時(shí). cos∠B1CF1>0 ∴ ∠B1CF1為銳角.∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角 (2) 當(dāng)c<b時(shí).cos∠B1CF1<0 ∴ ∠B1CF1是鈍角 ∴ π-∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角 (3) 當(dāng)c=b時(shí).∠B1CF1=900 ∴ BD1⊥B1C 法二:作異面直線所成角的過(guò)程.其實(shí)就是平移異面直線的過(guò)程.借助于三角形中位線的平行性.也可以達(dá)到平移的目的. 如圖.分別取BC.BB1.B1D1的中點(diǎn)P.M.Q.連PM.MQ.PQ 則 MP∥B1C.MQ∥BD1 ∴ ∠PMQ就是異面直線BD1與B1C所成的角 △ PMQ中.MP=B1C= △ MQBD1=.PQ= 利用余弦定理可以得到與解法一同樣的結(jié)果 【查看更多】

 

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