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已知橢圓C₁：=1和圓C：x²+y²=4，且圓C與x軸交于A₁，A₂兩點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C₁的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P的圓C上異于A₁，A₂的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）在直線x+y-3=0上，若存在點(diǎn)N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求x的取值范圍．

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設(shè)橢圓C₁：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C₁相交于點(diǎn)A、D，與曲線C₂順次相交于點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．

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（2005•海淀區(qū)二模）設(shè)橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F重合，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線與C₁交于A、B兩點(diǎn)，與C₂交于C、D兩點(diǎn)，已知

|CD|

|AB|

=

4

3

．
（Ⅰ）過點(diǎn)F且傾斜角為

π

3

的直線與C₂：y²=4x交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值；
（Ⅱ）求橢圓C₁的方程．

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

C

A

A

D

C

B

A

D

B

B

二、填空題

13．   14.     15.７５００    16.

三、解答題

１７．證明：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)M,連FM,MC, ┅┅┅┅2分

∵ F、M分別是AE、BA的中點(diǎn)  

∴ FM∥EB, FM=EB=CD, ┅┅┅┅┅┅┅４分

∵ EB、CD都垂直于平面ABC 

∴ CD∥BE∴ CD∥FM,

∴四邊形FMCD是平行四邊形,

∴ FD∥MC.又∵

∴FD∥平面ABC                 ┅┅┅┅┅┅┅６分          

（Ⅱ）∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，CA=CB，

∴CM⊥AB, ┅┅┅┅┅┅┅８分

又  CM⊥BE, ∴CM⊥面EAB, ∴CM⊥BF, ∴FD⊥BF, ┅┅┅┅┅┅┅１０分

∵F是AE的中點(diǎn), EB=AB∴BF⊥EA. ∴BF⊥平面ADE      ┅┅┅┅┅┅┅１２分

18解：

（Ⅰ）實(shí)數(shù)對(duì)有

共16種不同的情況，有16條不同的直線．┅┅┅┅┅┅┅４分

當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)為時(shí)，直線的斜率，直線傾斜角大于，

所以直線傾斜角大于的概率為；┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）直線在x軸上的截距與在y軸上截距之差，即，┅┅┅┅┅┅┅８分

當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)為時(shí)，┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以直線在x軸上的截距與在y軸上截距之差小于7的概率為. ┅┅┅┅１２分

19解：（1）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因?yàn)?sub>，所以，所以，

即的取值范圍為 ┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以 ┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時(shí)取到. ┅┅┅┅┅┅┅１２分

20解：（Ⅰ）的首項(xiàng)為，所以 ┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1

┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即 ┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

則  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１２分

21解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，∵，∴為直角三角形，                 ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2a=4，∴a=2．又，可得．

∴所求圓C與橢圓C₁的方程分別是和． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ2） F，設(shè)，,

當(dāng)時(shí)，Q點(diǎn)為（），可得，∴PFOQ.

當(dāng)時(shí)，，可以解得，也有PFOQ.  ┅┅┅6分

當(dāng)且時(shí)，OP的斜率為，則切線PQ的斜率為，則PQ的方程為：化簡為：，          ┅┅┅8分

與交得Q點(diǎn)坐標(biāo)為             ┅┅┅10分

則，

∴PFOQ.

綜上，直線PF與直線OQ垂直.                       ┅┅┅12分

22解：（Ⅰ） ┅┅┅┅┅┅┅２分

①當(dāng)，即，在Ｒ上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，在上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上有，所以在Ｒ單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當(dāng)，即

兩個(gè)根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；

在上有，即在單調(diào)遞減．┅┅┅┅┅┅┅８分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)函數(shù)有極值，

當(dāng)時(shí)，，所以不符合題意.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的極值點(diǎn)都為正數(shù)

┅┅┅┅┅┅┅１０分

有極大值，極小值，所以

，

又因?yàn)?sub>，

所以

=，┅┅┅┅┅┅┅１２分

令，則，所以時(shí)單調(diào)遞增，所以，即極值之和小于. ┅┅┅┅┅┅┅１４分