題目列表(包括答案和解析)
如圖,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),分別以HF,EG所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知
=λ
,
=λ
,其中0<λ<1.
(1)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上;
(2)若點(diǎn)N是直線l:y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn),直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T.是否存在點(diǎn)N,使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
如圖,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F(xiàn),M,N分別是矩形四條邊的中點(diǎn),G,H分別是線段ON,CN的中點(diǎn).
(1)證明:直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W:上;
(2)設(shè)直線l:與橢圓W:
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,直線l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T,求
的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
如圖,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F(xiàn),M,N分別是矩形四條邊的中點(diǎn),G,H分別是線段ON,CN的中點(diǎn).
(1)證明:直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W:上;
(2)設(shè)直線l:與橢圓W:
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,直線l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T,求
的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
如圖,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F(xiàn),G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),分別以HF,EG所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知
=λ
,
=λ
,其中0<λ<1.
(1)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上;
(2)若點(diǎn)N是直線l:y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn),直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T.是否存在點(diǎn)N,使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.)
題號(hào)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
B
A
C
D
C
B
C
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9) (10)
或
(11)
(12) ,
(13)
(14)4,8
三、解答題(本大題共6小題,共80分.)
(15) (共12 分)
解:(I),
,
=
?
2分
4分
=
. 5分
又
6分
函數(shù)
的最大值為
.
7分
當(dāng)且僅當(dāng)(
Z)時(shí),函數(shù)
取得最大值為
.
(II)由(
Z),
9分
得 (
Z).
11分
函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為[
](
Z). 12分
(16) (共14分)
解法一:(I)證明:連結(jié)A1D,在正方體AC1中, ∵A1B1^平面A1ADD1,
\ A1D是PD在平面A1ADD1 內(nèi)的射影. 2分
在正方形A1ADD1中, A1D^ AD1, \ PD⊥AD1. 4分
解(II) 取中點(diǎn)
,連結(jié)
,
,則
//
.
平面
,∴
平面
.
∴為
在平面
內(nèi)的射影.
則為CP與平面D1DCC1所成的角.
7分
在中,
∴
與平面D1DCC1所成的角的正弦值為
. 9分
(III)在正方體AC1中,∥
.
平面
內(nèi),
∴∥平面
.
∴點(diǎn)到平面
的距離與點(diǎn)C1到平面
的距離相等.
又平面
,
面
,
∴平面平面
.
又平面平面
,
過(guò)C1作C1H于H,則C1H
平面
.
∴C1的長(zhǎng)為點(diǎn)C1到平面
的距離.
12分
連結(jié)C1 ,并在
上取點(diǎn)
,使
//
.
在中,
,得
.
∴點(diǎn)到平面
的距離為
.
14分
解法二:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.
由題設(shè)知正方體棱長(zhǎng)為4,則、
、
、
、
、
.
1分
(I)設(shè),
.
3分
,
.
4分
(II)由題設(shè)可得,
, 故
.
,
是平面
的法向量.
7分
.
8分
∴與平面D1DCC1所成角的正弦值為
.
9分
(III),設(shè)平面D1DP的法向量
,
∵.
則,即
令
,則
.
12分
點(diǎn)C到平面D1DP的距離為
.
14分
(17)(共13分)
解(I)設(shè)事件“某人參加A種競(jìng)猜活動(dòng)只獲得一個(gè)福娃獎(jiǎng)品”為事件M, 1分
依題意,答對(duì)一題的概率為,則
P(M)= 3分
=.
4分
(II)依題意,某人參加B種競(jìng)猜活動(dòng),結(jié)束時(shí)答題數(shù)=1,2,…,6,
5分
則,
,
,
,
,
.
11分
所以,的分布列是
1
2
3
4
5
6
P
設(shè),
則
∴,
∴ E=
=
.
13分
答:某人參加A種競(jìng)猜活動(dòng)只獲得一個(gè)福娃獎(jiǎng)品的概率為;某人參加B種競(jìng)猜活動(dòng),結(jié)束時(shí)答題數(shù)為
,E
為
.
(18)(本小題共13分)
解;如圖,建立直角坐標(biāo)系,依題意:設(shè)橢圓方
程為(a>b>0), 1分
(I)依題意: 4分
橢圓M的離心率大于0.7,所以
.
橢圓方程為
.
6分
(II)因?yàn)橹本€l過(guò)原點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn),設(shè)橢圓M的左焦點(diǎn)為
.
由對(duì)稱性可知,四邊形是平行四邊形.
的面積等于
的面積.
8分
∵
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