(Ⅱ)已知圓,直線.試證明:當點在橢圓上運動時.直線與圓恒相交.并求直線被圓所截得弦長的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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已知點E、F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點P，且它們的斜率之積為-
1
4
．
（1）求證：點P的軌跡在一個橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設過原點O的直線AB交（1）中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為(1，
1
2
)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率kAB；
（3）反思（2）題的解答，當△MAB的面積取得最大值時，探索（2）題的結論中直線AB的斜率kAB和OM所在直線的斜率kOM之間的關系．由此推廣到點M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結論成為推廣后的一個特例），試提出一個猜想或設計一個問題，嘗試研究解決．
[說明：本小題將根據(jù)你所提出的猜想或問題的質量分層評分]．

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已知直線過橢圓的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓的上頂點，且直線交橢圓于、兩點，點、F、 在直線上的射影依次為點、、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交y軸于點，且，當變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接、，試探索當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

 

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已知直線：x=my+1過橢圓C：的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓C的上頂點，且直線交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線交y軸于點M，且，當m變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；
（3）連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由。

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已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：-=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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    2009.3

一、選擇題

（1）B  （2）A  （3）B （4）C （5）B （6）D

（7）D   （8）C  （9）C （10）B （11）A （12）C

二、填空題

    <menuitem id="gwqac"><strong id="gwqac"></strong></menuitem>
    
   
    
    
    
    
    
    1,3,5
    三、解答題
    （17）解:（Ⅰ）-            
---------------------------2分
    高三年級人數(shù)為-------------------------3分
    現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在高三年級抽取的人數(shù)為
    (人).                      
--------------------------------------6分
    （Ⅱ）設“高三年級女生比男生多”為事件，高三年級女生、男生數(shù)記為.
    由（Ⅰ）知且
    則基本事件空間包含的基本事件有
    共11個,    
------------------------------9分
    事件包含的基本事件有
    共5個    
                   
--------------------------------------------------------------11分
    答：高三年級女生比男生多的概率為.  …………………………………………12分
    （18）解：（Ⅰ）  …………2分
    在中，由于，
                                            …………3分
    又，
                            
    又，所以，而，因此.…………6分
       （Ⅱ）由，
    由正弦定理得                                …………8分
    ，
    即，由（Ⅰ）知，所以    …………10分
    由余弦弦定理得 ，     …………11分
    ，
                  
                                …………12分
    （19）（Ⅰ）證明：∵、分別為、的中點，∴.
         又∵平面平面
    ∴平面                                     
   …………4分
    （Ⅱ）∵，，∴平面.
    又∵，∴平面.
    ∵平面,∴平面平面.              
…………8分
    （Ⅲ）∵平面，∴是三棱錐的高.
    在Rt△中，.
        在Rt△中，.
     ∵，是的中點，
    ∴,
    故.        ………………12分
    （20）解：（Ⅰ）依題意得
                                
…………2分 
     解得，                                         
   …………4分
    .       …………6分
       （Ⅱ）由已知得，                 
…………8分
                                                            
………………12分
    （21）解：（Ⅰ）
          令=0,得                       
………2分
    因為，所以可得下表：
    0
    +
    0
    -
    ㄊ
    極大
    ㄋ
                                 
                            ………………4分
    因此必為最大值,∴，因此， 
         ，
        即，∴，
     ∴                                       ……………6分
    （Ⅱ）∵，∴等價于，
………8分
     令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即，                
…………10分
    解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1].           
………………12分
    （22）解:（Ⅰ）由得，，
    所以直線過定點（3，0），即.                      
…………………2分
     設橢圓的方程為, 
    則,解得，
    所以橢圓的方程為.                   
……………………5分
    （Ⅱ）因為點在橢圓上運動,所以，     
………………6分
    從而圓心到直線的距離
    所以直線與圓恒相交.                            
……………………9分
    又直線被圓截得的弦長
    ，       …………12分
    由于,所以,則,
    即直線被圓截得的弦長的取值范圍是.  …………………14分
     
    		
    
	
	
    
		
    


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