題目列表(包括答案和解析)
π | 2 |
如圖,是△
的重心,
、
分別是邊
、
上的動點,且
、
、
三點共線.
(1)設(shè),將
用
、
、
表示;
(2)設(shè),
,證明:
是定值;
(3)記△與△
的面積分別為
、
.求
的取值范圍.
(提示:
【解析】第一問中利用(1)
第二問中,由(1),得;①
另一方面,∵是△
的重心,
∴
而、
不共線,∴由①、②,得
第三問中,
由點、
的定義知
,
,
且時,
;
時,
.此時,均有
.
時,
.此時,均有
.
以下證明:,結(jié)合作差法得到。
解:(1)
.
(2)一方面,由(1),得;①
另一方面,∵是△
的重心,
∴. ②
而、
不共線,∴由①、②,得
解之,得,∴
(定值).
(3).
由點、
的定義知
,
,
且時,
;
時,
.此時,均有
.
時,
.此時,均有
.
以下證明:.(法一)由(2)知
,
∵,∴
.
∵,∴
.
∴的取值范圍
課外研究題:將一塊圓心角為,半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形,請你設(shè)計裁法,使裁得矩形的面積最大?并說明理由.
教學(xué)建議:這是一個研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容,可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成,寫成研究報告,在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果,老師可適當(dāng)進行點評。
參考答案:這是一個如何下料的問題,一般有如圖(1)、圖(2)的兩種裁法:即讓矩形一邊在扇形的一條半徑上,或讓矩形一邊與弦
平行。從圖形的特點來看,涉及到線段的長度和角度,將這些量放置在三角形中,通過解三角形求出矩形的邊長,再計算出兩種方案所得矩形的最大面積,加以比較,
就可以得出問題的結(jié)論.
已知直三棱柱中,
,
,
是
和
的交點, 若
.
(1)求的長; (2)求點
到平面
的距離;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中,利用ACCA
為正方形,
AC=3
第二問中,利用面BBC
C內(nèi)作CD
BC
,
則CD就是點C平面A
BC
的距離CD=
,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交A
C于E, 易證ACC
A
為正方形,
AC=3
…………… 5分
(2)在面BBC
C內(nèi)作CD
BC
,
則CD就是點C平面A
BC
的距離CD=
… 8分
(3) 易得AC面A
CB,
過E作EH
A
B于H, 連HC
,
則HC
A
B
C
HE為二面角C
-A
B-C的平面角. ……… 9分
sin
C
HE=
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小為
……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC
、C
A為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設(shè)|CA|=h, 則C
(0,
0, 0), B
(4,
0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3,
0), A
(0,
0, h), A(0, -3, h), G(2, -
, -
) ……………………… 3分
=(2, -
, -
),
=(0,
-3, -h(huán)) ……… 4分
·
=0,
h=3
(2)設(shè)平面ABC
得法向量
=(a, b, c),則可求得
=(3, 4, 0) (令a=3)
點A到平面A
BC
的距離為H=|
|=
……… 8分
(3) 設(shè)平面ABC的法向量為
=(x, y, z),則可求得
=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C
-A
B-C的大小
滿足cos
=
=
………
11分
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小為
BP |
PA |
1 |
2 |
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有 一項是符合題目要求的。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題:(本大題共5個小題,每小題5分,共25分,)
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答題:
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