題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
,
則,即
.不防設
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
加密密鑰密碼 |
發(fā)送 |
解密密鑰密碼 |
已知是公差為d的等差數列,
是公比為q的等比數列
(Ⅰ)若 ,是否存在
,有
?請說明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數,且aq
0)對任意m存在k,有
,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數列
中存在某個連續(xù)p項的和式數列中
的一項,請證明.
【解析】第一問中,由得
,整理后,可得
、
,
為整數
不存在
、
,使等式成立。
(2)中當時,則
即
,其中
是大于等于
的整數
反之當時,其中
是大于等于
的整數,則
,
顯然,其中
、
滿足的充要條件是
,其中
是大于等于
的整數
(3)中設當
為偶數時,
式左邊為偶數,右邊為奇數,
當為偶數時,
式不成立。由
式得
,整理
當時,符合題意。當
,
為奇數時,
結合二項式定理得到結論。
解(1)由得
,整理后,可得
、
,
為整數
不存在
、
,使等式成立。
(2)當時,則
即
,其中
是大于等于
的整數反之當
時,其中
是大于等于
的整數,則
,
顯然,其中
、
滿足的充要條件是
,其中
是大于等于
的整數
(3)設當
為偶數時,
式左邊為偶數,右邊為奇數,
當為偶數時,
式不成立。由
式得
,整理
當時,符合題意。當
,
為奇數時,
由
,得
當
為奇數時,此時,一定有
和
使上式一定成立。
當
為奇數時,命題都成立
已知
(1)求函數在
上的最小值
(2)對一切的恒成立,求實數a的取值范圍
(3)證明對一切,都有
成立
【解析】第一問中利用
當
時,
在
單調遞減,在
單調遞增
,當
,即
時,
,
第二問中,,則
設
,
則,
單調遞增,
,
,
單調遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
第三問中問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當且僅當x=
時取得
設,
,則
,易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
解:(1)當
時,
在
單調遞減,在
單調遞增
,當
,即
時,
,
…………4分
(2),則
設
,
則,
單調遞增,
,
,
單調遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
…………9分
(3)問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當且僅當x=
時取得
設,
,則
,易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
已知,
是橢圓
左右焦點,它的離心率
,且被直線
所截得的線段的中點的橫坐標為
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設是其橢圓上的任意一點,當
為鈍角時,求
的取值范圍。
【解析】解:因為第一問中,利用橢圓的性質由得
所以橢圓方程可設為:
,然后利用
得得
橢圓方程為
第二問中,當為鈍角時,
,
得
所以
得
解:(Ⅰ)由得
所以橢圓方程可設為:
3分
得得
橢圓方程為
3分
(Ⅱ)當為鈍角時,
,
得
3分
所以
得
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