題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
.(Ⅰ)設(shè)
,求函數(shù)
的最值;(Ⅱ)若對(duì)于任意的
,都有
成立,求
的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,當(dāng)時(shí),
,
.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判定單調(diào)性和極值,進(jìn)而得到最值。
第二問(wèn)中,∵,
,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即
分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,
.
當(dāng)在
上變化時(shí),
,
的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1/e |
∴時(shí),
,
.
(Ⅱ)∵,
,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即
.
∴對(duì)于任意的,原不等式恒成立,等價(jià)于
對(duì)
恒成立,
∵對(duì)于任意的時(shí),
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)).
∴只需,即
,解之得
或
.
因此,的取值范圍是
已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上?說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí),
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問(wèn)當(dāng)時(shí),
,令
得
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時(shí),
,令
得
當(dāng)變化時(shí),
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
�!�
在
上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí),
.當(dāng)
時(shí),
,
最大值為0;
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增�!�
在
最大值為
。
綜上,當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在區(qū)間
上的最大值為2;
當(dāng)時(shí),即
時(shí),
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無(wú)解,因此
。此時(shí)
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上
已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,
為其前n項(xiàng)和,且滿足
,
.?dāng)?shù)列
滿足
,
,
為數(shù)列
的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
和數(shù)列
的前n項(xiàng)和
;
(2)若對(duì)任意的,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得
成等比數(shù)列?若存在,求出所有
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又時(shí),
滿足
,
,
第二問(wèn),①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等號(hào)在n=2時(shí)取得.
此時(shí)
需滿足
.
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時(shí)
取得最小值-6.
此時(shí)
需滿足
.
第三問(wèn),
若成等比數(shù)列,則
,
即.
由,可得
,即
,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又時(shí),
滿足
,
,
.
(2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等號(hào)在n=2時(shí)取得.
此時(shí)
需滿足
.
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時(shí)
取得最小值-6.
此時(shí)
需滿足
.
綜合①、②可得的取值范圍是
.
(3),
若成等比數(shù)列,則
,
即.
由,可得
,即
,
.
又,且m>1,所以m=2,此時(shí)n=12.
因此,當(dāng)且僅當(dāng)m=2,
n=12時(shí),數(shù)列中的
成等比數(shù)列
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