題目列表(包括答案和解析)
設數(shù)列的前
項和為
,如果
為常數(shù),則稱數(shù)列
為“科比數(shù)列”.
(Ⅰ)已知等差數(shù)列的首項為1,公差不為零,若
為“科比數(shù)列”,求
的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列的各項都是正數(shù),前
項和為
,若
對任意
都成立,試推斷數(shù)列
是否為“科比數(shù)列”?并說明理由.
已知數(shù)列的前
項和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設 (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當時,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對偶式)設,
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因為
,所以
.即
………10分
證法四:(數(shù)學歸納法)①當時,
,命題成立;
②假設時,命題成立,即
,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
設等差數(shù)列的前
項和為
,
若.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設,若
,試比較
與
的大�。�
設是數(shù)列
的前
項和,對任意
都有
成立, (其中
、
、
是常數(shù)).
(1)當,
,
時,求
;
(2)當,
,
時,
①若,
,求數(shù)列
的通項公式;
②設數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“
數(shù)列”.
如果,試問:是否存在數(shù)列
為“
數(shù)列”,使得對任意
,都有
,且
.若存在,求數(shù)列
的首項
的所
有取值構(gòu)成的集合;若不存在,說明理由.
設是數(shù)列
的前
項和,對任意
都有
成立, (其中
、
、
是常數(shù)).
(1)當,
,
時,求
;
(2)當,
,
時,
①若,
,求數(shù)列
的通項公式;
②設數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“
數(shù)列”.
如果,試問:是否存在數(shù)列
為“
數(shù)列”,使得對任意
,都有
,且
.若存在,求數(shù)列
的首項
的所
有取值構(gòu)成的集合;若不存在,說明理由.
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