題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分15分)如圖,已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為
的橢圓,其右焦點為F.若點P(-1,1)為圓O上一點,連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:直線PQ與圓O相切.
(本小題滿分15分)如圖,已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其右焦點為F.若點P(-1,1)為圓O上一點,
連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的
右準(zhǔn)線l于點Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:直線PQ與圓O相切.
(本小題滿分15分)
如圖,某小區(qū)有一邊長為2(單位:百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個游泳池,計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路(寬度不計),切點為M,并把該地塊分為兩部分.現(xiàn)以點O為坐標(biāo)原點,以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若池邊AE滿足函數(shù)
)的圖象,且點M到邊OA距離為
.
(1)當(dāng)時,求直路
所在的直線方程;
(2)當(dāng)t為何值時,地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大,最大值是多少?
(本小題滿分15分)
如圖,橢圓的中心在原點,焦點在
軸上,
分別是橢圓
的左、右焦點,
是橢圓短軸的一個端點,過
的直線
與橢圓交于
兩點,
的面積為
,
的周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為
,是否存在橢圓上的點
及以
為圓心的一個圓,使得該圓與直線
都相切,如存在,求出
點坐標(biāo)及圓的方程,如不存在,請說明理由.
(本小題滿分15分)如圖,已知橢圓:+=1(a>b>0)的長軸AB長為4,離心率e=,O為坐標(biāo)原點,過B的直線l與x軸垂直.P是橢圓上異于A、B的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,延長HP到點Q使得HP=PQ,連結(jié)AQ延長交直線
于點M,N為
的中點.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:Q點在以為直徑的圓
上;
(3)試判斷直線QN與圓的位置關(guān)系.
一、填空題:
1.; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
;
6.; 7.
8.
; 9.21; 10.
;
11.;12.
; 13.
; 14.
二、解答題:
15.(1)編號為016; ----------------------------3分
(2)
分組
頻數(shù)
頻率
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
18
0.36
90.5~100.5
14
0.28
合計
50
1
------------- ----------------------------8分
(3)在被抽到的學(xué)生中獲二獎的人數(shù)是9+7=16人,
占樣本的比例是,即獲二等獎的概率約為32%,
所以獲二等獎的人數(shù)估計為800×32%=256人。有 ------------------------13分
答:獲二等獎的大約有256人。 -----------------------------------14分
16.解:(1) B=600,A+C=1200, C=1200 -A,
∴ sinA-sinC+ cos(A-C)
=sinA-
cosA+
[1-2sin2(A-60°)]=
,
∴sin(A-60°)[1- sin(A-60°)]=0?
-------------------------4分
∴sin(A-60°)=0或sin(A-60°)=, 又0°<A<120°,
∴A=60°或105°.??? -------------------------8分
(2) 當(dāng)A=60°時,S△=acsinB=
×4R2sin360°=
------------11分
當(dāng)A=105°時,?S△=×4R2?sin105°sin15°sin60°=
----------------14分
17.解:(1)如四面體A1-ABC或四面體C1-ABC或四面體A1-ACD或四面體C1-ACD; ---4分
(2)如四面體B1-ABC或四面體D1-ACD; -------------------------8分
(3)如四面體A-B1CD1(3分 ); -------------------------11分
設(shè)長方體的長、寬、高分別為,則
.---------14分
18.(1)如圖,由光學(xué)幾何知識可知,點關(guān)于
的對稱點
在過點
且傾斜角為
的直線
上。在
中,橢圓長軸長
, ----4分
又橢圓的半焦距,∴
,
∴所求橢圓的方程為.
-----------------------------7分
(2)路程最短即為上上的點
到圓
的切線長最短,由幾何知識可知,
應(yīng)為過原點
且與
垂直的直線與
的交點,這一點又與點
關(guān)于
對稱,∴
,故點
的坐標(biāo)為
.
-------------------------15分
注:用代數(shù)方法求解同樣分步給分!
19. 解:(1)若,對于正數(shù)
,
的定義域為
,但
的值域
,故
,不合要求. --------------------------2分
若,對于正數(shù)
,
的定義域為
. -----------------3分
由于此時,
故函數(shù)的值域.
------------------------------------6分
由題意,有,由于
,所以
.------------------8分
20.解:(1)依題意數(shù)列的通項公式是
,
故等式即為,
同時有,
兩式相減可得 ------------------------------3分
可得數(shù)列的通項公式是
,
知數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列。 ---------------------------4分
(2)設(shè)等比數(shù)列的首項為
,公比為
,則
,從而有:
,
又,
故
-----------------------------6分
,
要使是與
無關(guān)的常數(shù),必需
, ----------------------------8分
即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比
時,數(shù)列
是等差數(shù)列,其通項公式是
;
②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時,數(shù)列
不是等差數(shù)列. ------------9分
(3)由(2)知, ------------------------------------------10分
--------------14分
----------------------------16分
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