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題目列表(包括答案和解析)

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一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.

2,4,6

二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.

9.120   10.5    11.   12.   13.1(2分),(3分)

14.4(2分),(3分)

三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分12分)

   (I)解:因為α為第二象限的角,

所以,,………………………………………2分

 ……………………………………………………… 4分

所以, …………………………… 6分

   (II)解:因為β為第三象限的角,,

所以, …………………………………………8分

,………10分

所以, ………………12分

16.(本小題滿分12分)

   (I)解:記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A,則至少有一套試驗成功的事件為

    由題意,這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1-p.

所以,,

 

從而,

………………………………………6分

   (II)解:ξ的可取值為0,1,2. ……………………………………………7分

 ……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學期望……12分

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      • 解法一(I)證明:

        連接A1B,設A1B∩AB1 = E,連接DE.

        ∵ABC―A1B1C1是正三棱柱,且AA1 = AB,

        ∴四邊形A1ABB1是正方形,

        ∴E是A1B的中點,

        又D是BC的中點,

        ∴DE∥A1C. ………………………… 3分

        ∵DE平面AB1D,A1C平面AB1D,

        ∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

           (II)解:在面ABC內作DF⊥AB于點F,在面A1ABB1內作FG⊥AB1于點G,連接DG.

        ∵平面A1ABB1⊥平面ABC,  ∴DF⊥平面A1ABB1,

        ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影,  ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1

        ∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

        設A1A = AB = 1,在正△ABC中,DF=

        在△ABE中,,

        在Rt△DFG中,

        所以,二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

           (III)解:∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC,

        ∴AD⊥平面B1BCC1,又AD平面AB1D,∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

        在平面B1BCC1內作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H,

        則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分

        由△CDH∽△B1DB,得

        即點C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分

          建立空間直角坐標系D―xyz,如圖,

             (I)證明:

          連接A1B,設A1B∩AB1 = E,連接DE.

          設A1A = AB = 1,

           …………………………3分

          ,

           ……………………………………4分

             (II)解:, ,

          是平面AB1D的法向量,則

          ;

          同理,可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分

          設二面角BAB1D的大小為θ,,

          ∴二面角BAB1D的大小為 …………………………9分

             (III)解由(II)得平面AB1D的法向量為

          取其單位法向量

          ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分

          18.(本小題滿分14分)

             (I)解:依題意,直線l顯然不平行于坐標軸,故

          ,得

                ① ………………………… 3分

          由直線l與橢圓相交于兩個不同的點,得

          ,

          …………………………………………………… 5分

             (II)解:設由①,得

          因為,代入上式,得  ……………8分

          于是,△OAB的面積

                                 ………………11分

          其中,上式取等號的條件是 ……………………12分

           

          這兩組值分別代入①,均可解出

          所以,△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分

          19.(本小題滿分14分)

             (I)解:對函數(shù) ……………………… 2分

          要使上是增函數(shù),只要上恒成立,

          上恒成立 ……………………………………4分

          因為上單調遞減,所以上的最小值是

          注意到a > 0,所以a的取值范圍是 ……………………………………6分

             (II)解:①當時,由(I)知,上是增函數(shù),

          此時上的最大值是 ……………………8分

          ②當,

          解得 ……………………………………………………10分

          因為,

          所以上單調遞減,

          此時上的最大值是………… 13分

          綜上,當時,上的最大值是

          時,上的最大值是 ……………14分

          20.(本小題滿分14分)

             (I)解:顯然 ……………………………………1分

          ……………………………………3分

          所以,

                    …………………………6分

             (II)解:

             ………………………………………………9分

            

               ………………12分

          所以,M的最小值為 ………………………………14分

           

           


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