通過對(duì)大學(xué)生手機(jī)消費(fèi)情況的調(diào)查，探討影響當(dāng)代大學(xué)生購買手機(jī)決策的因素.研究者通過隨機(jī)抽樣對(duì)北師大、北大兩地共150名被測(cè)試者進(jìn)行了調(diào)查，其中男生占45.2%，女生占54.8%.請(qǐng)自愿的被測(cè)試者填寫自制手機(jī)調(diào)查問卷（本問卷主要涵蓋三方面內(nèi)容：手機(jī)本身因素，服務(wù)及購買物理環(huán)境因素，廣告及品牌效應(yīng)因素.題目共16道，并隨機(jī)排序，其中無關(guān)題1道）.同時(shí)，研究人員還在區(qū)內(nèi)各大手機(jī)專賣店收集相關(guān)資料.本研究一共發(fā)放問卷150份，有效回收率為90%.對(duì)問卷原始數(shù)據(jù)大致歸類后，再對(duì)部分題目進(jìn)行分析.

在手機(jī)本身特點(diǎn)上被測(cè)試者選擇結(jié)果（見表一）

表一  被測(cè)試者對(duì)手機(jī)質(zhì)量的選擇

在品牌、廣告問題上被試關(guān)注（結(jié)果見表二）

表二  被測(cè)試者對(duì)廣告中認(rèn)為最可信的因素的選擇結(jié)果

被測(cè)試者對(duì)最有效的品牌公司形象塑造的策略的選擇對(duì)以上所搜集的數(shù)據(jù)以表格或圖表分類，在此研究基礎(chǔ)上試表述對(duì)所搜集的數(shù)據(jù)處理的結(jié)果.并分析潛在因素對(duì)大學(xué)生購買決策的影響，試從心理特點(diǎn)加以闡釋.

已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上