20.當(dāng).當(dāng).因而得 --------3分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的個不同的點(diǎn)().

(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點(diǎn)、、的坐標(biāo),從而使得

;

(2)當(dāng)時,若

求證:;

(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點(diǎn)為,

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;

解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以,

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點(diǎn)為,

設(shè)分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;

.

,,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過

拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

,所以.

(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點(diǎn),均為反例.)

③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

“當(dāng)時,若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,

及拋物線的定義得,即,則

,

又由,所以,故命題為真.

補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

“當(dāng)時,若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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已知

(1)求函數(shù)上的最小值

(2)對一切的恒成立,求實數(shù)a的取值范圍

(3)證明對一切,都有成立

【解析】第一問中利用

當(dāng)時,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng),即時,,

第二問中,,則設(shè),

,單調(diào)遞增,,單調(diào)遞減,,因為對一切恒成立, 

第三問中問題等價于證明,

由(1)可知,的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取得

設(shè),,則,易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切,都有成立

解:(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng),即時,,

                 …………4分

(2),則設(shè),

單調(diào)遞增,,單調(diào)遞減,,因為對一切,恒成立,                                             …………9分

(3)問題等價于證明,

由(1)可知,的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取得

設(shè),,則,易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切,都有成立

 

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2011年3月日本發(fā)生的9.0級地震引發(fā)了海嘯和核泄漏。核專家為檢測當(dāng)?shù)貏游锸芎溯椛浜髮ι眢w健康的影響,隨機(jī)選取了110只羊進(jìn)行檢測。其中身體健康的50只中有30只受到高度輻射,余下的60只身體不健康的羊中有10只受輕微輻射。

(1)作出2×2列聯(lián)表

(2)判斷有多大把握認(rèn)為羊受核輻射對身體健康有影響?

【解析】本試題主要考查了列聯(lián)表的運(yùn)用,以及判定兩個分類變量之間的相關(guān)性問題的運(yùn)用首先根據(jù)題意得到2×2列聯(lián)表:,然后求解的觀測值為

因為,因此可知有99%的把握可以認(rèn)為羊受核輻射對身體健康有影響。

解:(1)2×2列聯(lián)表:

輻射程度健康類型

 

高度輻射

 

輕微輻射

 

合   計

身體健康

30

20

50

身體不健康

50

10

60

合  計

80

30

110

 

 

--------5分

 

-

 

(Ⅱ)的觀測值為

     -----9分

而 

∴有99%的把握可以認(rèn)為羊受核輻射對身體健康有影響。

 

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已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因為過點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線過點(diǎn)A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表,

a

b

c

d

e

f

滿足性質(zhì)P:a,b,c,d,e,f,且a+b+c+d+e+f=0

為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2), 為A的第j列各數(shù)之和(j=1,2,3)記中的最小值。

(1)對如下表A,求的值

1

1

-0.8

0.1

-0.3

-1

(2)設(shè)數(shù)表A形如

1

1

-1-2d

d

d

-1

其中,求的最大值

(3)對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A,求的最大值。

【解析】(1)因為,,所以

(2),

因為,所以,

所以

當(dāng)d=0時,取得最大值1

(3)任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A(如圖所示)

a

b

c

d

e

f

任意改變A的行次序或列次序,或把A中的每個數(shù)換成它的相反數(shù),所得數(shù)表仍滿足性質(zhì)P,并且,因此,不妨設(shè),,

得定義知,,,

從而

     

所以,,由(2)知,存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使,故的最大值為1

【考點(diǎn)定位】此題作為壓軸題難度較大,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力

 

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