如圖，點A在x軸的負半軸上，OA=4，AB=OB=

5

．將△ABO繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₁B₁O，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₂B₂O．拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過B、B₁兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點B₂是否在此拋物線上，請說明理由；
（3）在該拋物線上找一點P，使得△PBB₂是以BB₂為底的等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標；
（4）在該拋物線上，是否存在兩點M、N，使得原點O是線段MN的中點？若存在，直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＞x₂，與y軸交于點C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²-2x-8=0的兩個根．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時，求點P的坐標；
（3）探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使△QBC成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．

如圖，拋物線y=x²+4x與x軸分別相交于點B、O，它的頂點為A，連接AB，把AB所在的直線沿y軸向上平移，使它經(jīng)過原點O，得到直線l，設(shè)P是直線l上有一動點．
（1）求點A的坐標；
（2）以點A、B、O、P為頂點的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標；
（3）設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S，點P的橫坐標為x，當(dāng)4+6

2

≤S≤6+8

2

時，求x的取值范圍．

如圖，拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（0，

3

2

）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點（不與點B重合），點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=

2

2

y₂，求y₂與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于點E、G，與（2）中的函數(shù)圖象交于點F、H．問四邊形EFHG能否成為平行四邊形？若能，求m、n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由．