已知等邊△ABC邊長為a，D、E分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持DE∥BC，如圖（1），⊙O₁與⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切，其中和DE、BC的切點(diǎn)分別為M、N、M′、N′．
（1）求證：⊙O₁和⊙O₂是等圓；
（2）設(shè)⊙O₁的半徑長為x，圓心距O₁O₂為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切時(shí)，求x的值；
（4）如圖（2），當(dāng)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)時(shí)，將⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后將重合后的圓沿著△ABC內(nèi)各邊按圖（2）中箭頭的方向進(jìn)行滾動(dòng)，且總是與△ABC的邊相切，當(dāng)點(diǎn)O₁第一次回到它原來的位置時(shí)，求點(diǎn)O₁經(jīng)過的路線長度？

如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，AD為BC邊上的高，點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．
（l）求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；x為何值時(shí)，PQ⊥AB？
（2）當(dāng)O＜x＜2時(shí)，AD是否能平分△PQD的面積？若能，說出理由；
（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．