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如圖,在三棱錐A－BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD＝,BD＝CD＝1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(1)求證：AD^BC
(2)求二面角B－AC－D的大小
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置；若 
不存在,說(shuō)明理由.

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如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=

3

，BD=CD=1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形．
（1）求證：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

B

C

A

A

C

D

B

D

C

C

1．B.因但。

2．.因，

3．B. 因?yàn)?sub>的定義域?yàn)閇0，2]，所以對(duì)，但故。

4． 函數(shù)為增函數(shù)

5． ，，…，

6．    

7.  .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則

又,所以

8.  

9. .

10．..函數(shù)

11..一天顯示的時(shí)間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.

12．.當(dāng)時(shí)，顯然成立

當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)顯然成立；

當(dāng)時(shí)，則兩根為負(fù)，結(jié)論成立

故

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13.        14..            15. 5        16. A、B、D

13．依題意

14．

15. 易求得、到球心的距離分別為3、2，類(lèi)比平面內(nèi)圓的情形可知當(dāng)、與球心共線時(shí)，取最大值5。

16., ∴對(duì)

取的中點(diǎn),則, ∴對(duì)

設(shè),    則,而,∴錯(cuò)

又,∴對(duì)

∴真命題的代號(hào)是

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：（1）由

得，           

于是=.          

（2）因?yàn)?sub>

所以          

的最大值為.      

18．解：（1）令A(yù)表示兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量這一事件

（2）令B表示兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件

19．（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，

，      

依題意有①

解得或(舍去)      

故

（2） 

∴

20．解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點(diǎn)，所以⊥，

則⊥。              

因?yàn)?sub>⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。

因?yàn)?sub>⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，              

就是二面角的平面角。       

作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。

設(shè)，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

所以

所以         

所以平面           

由∥得∥，故：平面

(2)由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

同理:

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

則令得

又是平面的一個(gè)法量

所以二面角的大小為                 

21. 解：（1）因?yàn)?sub>

令得           

由時(shí)，在根的左右的符號(hào)如下表所示

極小值

極大值

極小值

所以的遞增區(qū)間為        

的遞減區(qū)間為          

（2）由（1）得到，

要使的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，只要或， 

即或.                        

22．（1）證明：設(shè)，

則直線的方程：       

即：

因在上，所以①   

又直線方程：

由得：

所以     

同理，

所以直線的方程：   

令得

將①代入上式得，即點(diǎn)在直線上

所以三點(diǎn)共線                           

（2）解：由已知共線，所以 

以為直徑的圓的方程：

由得

所以（舍去），        

要使圓與拋物線有異于的交點(diǎn)，則

所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點(diǎn) 

則