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如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，.

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁D₁和CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ACD₁；
（2）求面EFB與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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一、選擇題：C D C C     A D B B

1．C【解析】，而，即，

2．D【解析】，，故

3．C【解析】依題意我們知道二年級(jí)的女生有380人，那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為

4．C  5．A

6．D【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 _為真命題

7．B【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn)，即有正根。當(dāng)有成立時(shí)，顯然有，此時(shí)，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為_。

8．B      

二、填空題：

9．【解析】要結(jié)束程序的運(yùn)算，就必須通過(guò)整除的條件運(yùn)算，而同時(shí)也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小公倍數(shù)12，即此時(shí)有。

10．【解析】按二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。

11．【解析】易知點(diǎn)C為，而直線與垂直，我們?cè)O(shè)待求的直線的方程為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。

12．【解析】，故函數(shù)的最小正周期。

二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）

13．【解析】由解得，即兩曲線的交點(diǎn)為。

14．

15．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

16．解：（1）依題意有，則，將點(diǎn)代入得，而，，，故；

（2）依題意有，而，

，

。

17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

依題意，，即，解得

所以三等品率最多為

18．解：（1）由得，

當(dāng)得，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，

， ，

過(guò)點(diǎn)G的切線方程為即，

令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過(guò)作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),

以為直角的只有一個(gè)，同理以為直角的只有一個(gè)。

若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，

因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。

19．解： _，

對(duì)于，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

對(duì)于，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

20．解：（1）在中，

，

而PD垂直底面ABCD，

,

在中，,即為以為直角的直角三角形。

設(shè)點(diǎn)到面的距離為,

由有,

即 ，

;

(2),而,

即,，,是直角三角形；

（3）時(shí),,

即,

的面積

21．解：（1）由求根公式，不妨設(shè)，得

，

（2）設(shè)，則，由

得，，消去，得，是方程的根，

由題意可知，

①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組的解記為

即、分別是公比為、的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,

兩式相減，得

，，

，

，即，

②當(dāng)時(shí)，即方程有重根，，

即，得，不妨設(shè)，由①可知

，，

即，等式兩邊同時(shí)除以，得，即

數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，

綜上所述，

（3）把，代入，得，解得