3．(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的.對于函數(shù)y＝f(x).當(dāng)y＝0時.就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0.也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f＝0.函數(shù)問題(例如求反函數(shù).求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解.方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解.如解方程f(x)＝0.就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化.對于函數(shù)y＝f(x).當(dāng)y>0時.就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0.借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題.而研究函數(shù)的性質(zhì).也離不開解不等式.(3) 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù).用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要.＝(n∈N*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的.利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題.(5) 解析幾何中的許多問題.例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題.需要通過解二元方程組才能解決.涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.(6) 立體幾何中有關(guān)線段.角.面積.體積的計算.經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.Ⅰ．運(yùn)用函數(shù)與方程.表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù).方程.表達(dá)式問題.例1 已知..則有(A) (D) 解析 法一:依題設(shè)有 a?5-b?+c＝0∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個實(shí)根,∴△＝≥0 ∴ 故選(B)法二:去分母.移項(xiàng).兩邊平方得:≥10ac+2?5a?c＝20ac∴ 故選(B)點(diǎn)評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化.敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn).運(yùn)用方程的思想使問題得到解決,解法二轉(zhuǎn)化為b2是a.c的函數(shù).運(yùn)用重要不等式.思路清晰.水到渠成.練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 -(2 m-8)x +-16 = 0的兩個實(shí)根 . 滿足 ＜＜.則實(shí)數(shù)m的取值范圍 .答案:, 2 已知函數(shù) 的圖象如下.則( )(A) (B)(C) (D)答案:A. 3 求使不等式≤?對大于1的任意x.y恒成立的a的取值范圍.Ⅱ:構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題:例2 已知.t∈[.8].對于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m.不等式恒成立.求x的取值范圍.解析∵t∈[.8].∴f(t)∈[.3]原題轉(zhuǎn)化為:>0恒成立.為m的一次函數(shù)當(dāng)x＝2時.不等式不成立.∴x≠2.令g(m)＝.m∈[.3]問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[.3]上恒對于0.則:,解得:x>2或x<-1評析 首先明確本題是求x的取值范圍.這里注意另一個變量m.不等式的左邊恰是m的一次函數(shù).因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決.在多個字母變量的問題中.選準(zhǔn)“主元 往往是解題的關(guān)鍵.例3 為了更好的了解鯨的生活習(xí)性.某動物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置.從海洋放歸點(diǎn)A處.如圖(1)所示.把它放回大海.并沿海岸線由西向東不停地對它進(jìn)行了長達(dá)40分鐘的跟蹤觀測.每隔10分鐘踩點(diǎn)測得數(shù)據(jù)如下表.然后又在觀測站B處對鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測.已知AB＝15km.觀測站B的觀測半徑為5km.觀測時刻t跟蹤觀測點(diǎn)到放歸點(diǎn)的距離a(km)鯨位于跟蹤觀測點(diǎn)正北 方向的距離b(km)101 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)概念的發(fā)展歷程

　　17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于運(yùn)動的研究，如計算天體的位置，遠(yuǎn)距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達(dá)到的高度和射程．這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景．

　　“function”一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．

　　萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等．1718年，他的學(xué)生，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示．后來，數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”．

　　當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家對于不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度．函數(shù)的概念仍然是比較模糊的．

　　隨著對微積分研究的深入，18世紀(jì)末19世紀(jì)初，人們對函數(shù)的認(rèn)識向前推進(jìn)了．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)”．這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀(jì)70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?yīng)語言表述，這就是本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念．

　　綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的．

你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會嗎？

1．探尋科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程，對指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)有什么現(xiàn)實(shí)意義？

2．萊布尼茲、狄利克雷等科學(xué)家有哪些品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)？

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