題目列表(包括答案和解析)
函數的定義域是R,對任意的兩個不同的實數
則下列結論正確的是 .(填上你認為正確的所有結論編號)
①函數在R上具有反函數; ②函數
在R上是單調函數;
③函數在R上不是偶函數; ④函數
在R上不是周期函數.
設函數的定義域、值域均為
的反函數為
,且對任意的
,均有
,定義數列
(1)求證:
(2)設求證
(3)是否存在常數A、B同時滿足:
,
如果存在,求出A、B的值,如果不存在,說明理由。
已知函數的定義域為R,它的反函數為
,如果
與
互為反函數,且
,則
的值為(
)
A、 B、0
C、
D、
已知函數的定義域為
。
(1)求函數的值域;
(2)求函數的反函數。(12分)
已知函數的定義域為
。
(1)求函數的值域;
(2)求函數的反函數。(12分)
一、選擇題
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C
7.D 8.C 9.C 10.C
二、填空題
11. 12.
13.
14.2 15.30°
三、解答題
16.解:(Ⅰ)由,根據正弦定理得
,所以
,
由為銳角三角形得
.………………………………………………7分
(Ⅱ)根據余弦定理,得.
所以,.………………………………………………14分
17.解:(Ⅰ)記表示事件:“
位顧客中至少
位采用一次性付款”,則
表示事件:“
位顧客中無人采用一次性付款”.
,
.………………………………………………7分
(Ⅱ)記表示事件:“
位顧客每人購買
件該商品,商場獲得利潤不超過
元”.
表示事件:“購買該商品的
位顧客中無人采用分期付款”.
表示事件:“購買該商品的
位顧客中恰有
位采用分期付款”.
則.
,
.
.……………………………………14分
18.解法一:(1)作,垂足為
,連結
,由側面
底面
,得
底面
.
因為
,所以
,又
,故
為等腰直角三角形,
,
由三垂線定理,得.………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
依題設,
故,由
,
,
.
又,作
,垂足為
,
則平面
,連結
.
為直線
與平面
所成的角.
所以,直線與平面
所成角的正弦值為
.………………………………………………14分
解法二:(Ⅰ)作,垂足為
,連結
,由側面
底面
,得
平面
.
因為,所以
.
又
,
為等腰直角三角形,
.
如圖,以為坐標原點,
為
軸正向,建立直角坐標系
,
因為,
,
又,所以
,
,
.
,
,
,
,所以
.…………………7分
(Ⅱ),
.
與
的夾角記為
,
與平面
所成的角記為
,因為
為平面
的法向量,所以
與
互余.
,
,
所以,直線與平面
所成角的正弦值為
.………………………14分
19.解:(Ⅰ),
因為函數在
及
取得極值,則有
,
.
即
解得,
.………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
當時,
;
當時,
;
當時,
.
所以,當時,
取得極大值
,又
,
.
則當時,
的最大值為
.
因為對于任意的,有
恒成立,
所以 ,
解得 或
,
因此的取值范圍為
.………………………14分
20.解:(Ⅰ)設的公差為
,
的公比為
,則依題意有
且
解得,
.
所以,
.………………………6分
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.………………………12分
21.證明:(Ⅰ)橢圓的半焦距
,
由知點
在以線段
為直徑的圓上,
故,
所以,.………………………6分
(Ⅱ)(?)當的斜率
存在且
時,
的方程為
,代入橢圓方程
,并化簡得
.
設,
,則
,
,
;
因為與
相交于點
,且
的斜率為
.
所以,.
四邊形的面積
.
當時,上式取等號.………………………10分
(?)當的斜率
或斜率不存在時,四邊形
的面積
.……………………11分
綜上,四邊形的面積的最小值為
.………………………12分
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