題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:
,設(shè)
,
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
,
恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)
在
軸上,點(diǎn)
在
軸的正半軸,點(diǎn)
在直線
上,且滿足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在
軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)
的軌跡
方程;
(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小題滿分14分)
已知,其中
是自然常數(shù),
(1)討論時(shí),
的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,對(duì)任意的正整數(shù)
,都有
成立,記
。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求證:對(duì)任意正整數(shù)
都有
;
(III)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足:對(duì)任意正整數(shù)
恒成立,求
的最小值。
一、選擇題
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C
7.D 8.C 9.C 10.C
二、填空題
11. 12.
13.
14.2 15.30°
三、解答題
16.解:(Ⅰ)由,根據(jù)正弦定理得
,所以
,
由為銳角三角形得
.………………………………………………7分
(Ⅱ)根據(jù)余弦定理,得.
所以,.………………………………………………14分
17.解:(Ⅰ)記表示事件:“
位顧客中至少
位采用一次性付款”,則
表示事件:“
位顧客中無人采用一次性付款”.
,
.………………………………………………7分
(Ⅱ)記表示事件:“
位顧客每人購買
件該商品,商場(chǎng)獲得利潤不超過
元”.
表示事件:“購買該商品的
位顧客中無人采用分期付款”.
表示事件:“購買該商品的
位顧客中恰有
位采用分期付款”.
則.
,
.
.……………………………………14分
18.解法一:(1)作,垂足為
,連結(jié)
,由側(cè)面
底面
,得
底面
.
因?yàn)?sub>
,所以
,又
,故
為等腰直角三角形,
,
由三垂線定理,得.………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
依題設(shè),
故,由
,
,
.
又,作
,垂足為
,
則平面
,連結(jié)
.
為直線
與平面
所成的角.
所以,直線與平面
所成角的正弦值為
.………………………………………………14分
解法二:(Ⅰ)作,垂足為
,連結(jié)
,由側(cè)面
底面
,得
平面
.
因?yàn)?sub>,所以
.
又
,
為等腰直角三角形,
.
如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),
為
軸正向,建立直角坐標(biāo)系
,
因?yàn)?sub>,
,
又,所以
,
,
.
,
,
,
,所以
.…………………7分
(Ⅱ),
.
與
的夾角記為
,
與平面
所成的角記為
,因?yàn)?sub>
為平面
的法向量,所以
與
互余.
,
,
所以,直線與平面
所成角的正弦值為
.………………………14分
19.解:(Ⅰ),
因?yàn)楹瘮?shù)在
及
取得極值,則有
,
.
即
解得,
.………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
.
所以,當(dāng)時(shí),
取得極大值
,又
,
.
則當(dāng)時(shí),
的最大值為
.
因?yàn)閷?duì)于任意的,有
恒成立,
所以 ,
解得 或
,
因此的取值范圍為
.………………………14分
20.解:(Ⅰ)設(shè)的公差為
,
的公比為
,則依題意有
且
解得,
.
所以,
.………………………6分
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.………………………12分
21.證明:(Ⅰ)橢圓的半焦距
,
由知點(diǎn)
在以線段
為直徑的圓上,
故,
所以,.………………………6分
(Ⅱ)(?)當(dāng)的斜率
存在且
時(shí),
的方程為
,代入橢圓方程
,并化簡(jiǎn)得
.
設(shè),
,則
,
,
;
因?yàn)?sub>與
相交于點(diǎn)
,且
的斜率為
.
所以,.
四邊形的面積
.
當(dāng)時(shí),上式取等號(hào).………………………10分
(?)當(dāng)的斜率
或斜率不存在時(shí),四邊形
的面積
.……………………11分
綜上,四邊形的面積的最小值為
.………………………12分
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