題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域為,則令,
則,
當(dāng)時,;當(dāng)時,
在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時,函數(shù)取得極大值. (3分)
函數(shù)在區(qū)間上存在極值,
,解得 (4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,則,
,即在上單調(diào)遞增, (7分)
,從而,故在上單調(diào)遞增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,當(dāng)時,恒成立,即,
令,則, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表,
a |
b |
c |
d |
e |
f |
滿足性質(zhì)P:a,b,c,d,e,f,且a+b+c+d+e+f=0
記為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2), 為A的第j列各數(shù)之和(j=1,2,3)記為中的最小值。
(1)對如下表A,求的值
1 |
1 |
-0.8 |
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)設(shè)數(shù)表A形如
1 |
1 |
-1-2d |
d |
d |
-1 |
其中,求的最大值
(3)對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A,求的最大值。
【解析】(1)因為,,所以
(2),
因為,所以,
所以
當(dāng)d=0時,取得最大值1
(3)任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A(如圖所示)
a |
b |
c |
d |
e |
f |
任意改變A的行次序或列次序,或把A中的每個數(shù)換成它的相反數(shù),所得數(shù)表仍滿足性質(zhì)P,并且,因此,不妨設(shè),,
由得定義知,,,,
從而
所以,,由(2)知,存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使,故的最大值為1
【考點定位】此題作為壓軸題難度較大,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力
剎車時的車速(km/h) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
剎車距離(m) | 0 | 0.3 | 1.0 | 2.1 | 3.6 | 5.5 | 7.8 |
在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,向量=(sinA,b+c),=(a-c,sinC-sinB),滿足=
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)設(shè)=(sin(C+),), =(2k,cos2A) (k>1), 有最大值為3,求k的值.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積和三角函數(shù),以及解三角形的綜合運用
第一問中由條件|p +q |=| p -q |,兩邊平方得p·q=0,又
p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,
根據(jù)正弦定理,可化為a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,
即,又由余弦定理=2acosB,所以cosB=,B=
第二問中,m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),m·n=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1).
而0<A<,sinA∈(0,1],故當(dāng)sin=1時,m·n取最大值為2k-=3,得k=.
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