第16題圖
(2)因為三角形AOB為正三角形,所以
,
,
,
-----------------------------6分
所以
=質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image217.gif)
-------------------------10分
=
.
--------------------------------------12分
17、(本題滿分12分)
如圖,四棱錐
的底面是邊長為1的正方形,質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image155.gif)
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)求四棱錐
的體積.
(Ⅰ)因為四棱錐
的底面是邊長為1的正方形,質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image224.gif)
所以
,所以
------------4分
又
,質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image232.gif)
所以
平面
--------------------------------------8分
(Ⅱ)四棱錐
的底面積為1,
因為
平面
,所以四棱錐
的高為1,
所以四棱錐
的體積為
.
--------------------12分
18.(本小題滿分14分)
分組
頻數(shù)
頻率
50.5~60.5
4
0.08
60.5~70.5
0.16
70.5~80.5
10
80.5~90.5
16
0.32
90.5~100.5
合計
50
為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,共有900名學(xué)生參加了這次競賽. 為了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計. 請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖,解答下列問題:
質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image235.jpg)
(Ⅰ)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi));
(Ⅱ)補全頻數(shù)條形圖;
(Ⅲ)若成績在75.5~85.5分的學(xué)生為二等獎,問獲得二等獎的學(xué)生約為多少人?
解:(1)
分組
頻數(shù)
頻率
50.5~60.5
4
0.08
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
16
0.32
90.5~100.5
12
0.24
合計
50
1.00
---------------------4分
(2) 頻數(shù)直方圖如右上所示--------------------------------8分
(3) 成績在75.5~80.5分的學(xué)生占70.5~80.5分的學(xué)生的
,因為成績在70.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.2 ,所以成績在76.5~80.5分的學(xué)生頻率為0.1 ,---------10分
成績在80.5~85.5分的學(xué)生占80.5~90.5分的學(xué)生的
,因為成績在80.5~90.5分的學(xué)生頻率為0.32 ,所以成績在80.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.16 -------------12分
所以成績在76.5~85.5分的學(xué)生頻率為0.26,
由于有900名學(xué)生參加了這次競賽,
所以該校獲得二等獎的學(xué)生約為0.26´900=234(人) ------------------14分
19.(本小題滿分14分)
拋物線
的準線的方程為
,該拋物線上的每個點到準線
的距離都與到定點N的距離相等,圓N是以N為圓心,同時與直線
相切的圓,
(Ⅰ)求定點N的坐標;
(Ⅱ)是否存在一條直線
同時滿足下列條件:
①
分別與直線
交于A、B兩點,且AB中點為
;
②
被圓N截得的弦長為2;
解:(1)因為拋物線
的準線的方程為質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image165.gif)
所以
,根據(jù)拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點,
-----------2分
所以定點N的坐標為
----------------------------3分
(2)假設(shè)存在直線
滿足兩個條件,顯然
斜率存在,
-----------4分
設(shè)
的方程為
,
------------------------5分
以N為圓心,同時與直線
相切的圓N的半徑為
, ----6分
方法1:因為
被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1, -------7分
即
,解得
,
-------------------------------8分
當
時,顯然不合AB中點為
的條件,矛盾!
--------------9分
當
時,
的方程為
----------------------------10分
由
,解得點A坐標為
,
------------------11分
由
,解得點B坐標為
,
------------------12分
顯然AB中點不是
,矛盾!
----------------------------------13分
所以不存在滿足條件的直線
.
------------------------------------14分
方法2:由
,解得點A坐標為
,
------7分
由
,解得點B坐標為
, ------------8分
因為AB中點為
,所以
,解得
, ---------10分
所以
的方程為
,
圓心N到直線
的距離
,
-------------------------------11分
因為
被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,矛盾! ----13分
所以不存在滿足條件的直線
.
-------------------------------------14分
方法3:假設(shè)A點的坐標為
,
因為AB中點為
,所以B點的坐標為
,
-------------8分
又點B 在直線
上,所以
,
----------------------------9分
所以A點的坐標為
,直線
的斜率為4,
所以
的方程為
,
-----------------------------10分
圓心N到直線
的距離
,
-----------------------------11分
因為
被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,矛盾! ---------13分
所以不存在滿足條件的直線
.
----------------------------------------14分
20.(本小題滿分14分)
觀察下列三角形數(shù)表
1
-----------第一行
2 2
-----------第二行
3 4 3
-----------第三行
4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14
11 5
… … … …
…
…
… … …
假設(shè)第
行的第二個數(shù)為
,
(Ⅰ)依次寫出第六行的所有
個數(shù)字;
(Ⅱ)歸納出
的關(guān)系式并求出
的通項公式;
(Ⅲ)設(shè)
求證:質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image298.gif)
解:(1)第六行的所有6個數(shù)字分別是6,16,25,25,16,6; --------------2分
(2)依題意
,
-------------------------------5分
------------------------7分
,
所以
; -------------------------------------9分
(3)因為
所以
-------------11分
質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(xué)理科.files/image312.gif)
---14分
21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
取得極小值
.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)直線
. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:(1)直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;(2)對任意x∈R都有
. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”.
試證明:直線
是曲線
的“上夾線”.
解:(I)因為
,所以
---------------1分
,
-------------------------------2分
解得
,
--------------------------------------------------------------------3分
此時
,
當
時
,當
時
,
-------------------------5分
所以
時
取極小值,所以
符合題目條件;
----------------6分
(II)由
得
,
當
時,
,此時
,
,
,所以
是直線
與曲線
的一個切點;
-----------8分
當
時,
,此時
,
,
,所以
是直線
與曲線
的一個切點;
-----------10分
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;
對任意x∈R,
,
所以
---------------------------------------------------------------------13分
因此直線
是曲線
的“上夾線”.
----------14分