題目列表(包括答案和解析)
已知
(1)求函數(shù)在
上的最小值
(2)對一切的恒成立,求實數(shù)a的取值范圍
(3)證明對一切,都有
成立
【解析】第一問中利用
當
時,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
,當
,即
時,
,
第二問中,,則
設(shè)
,
則,
單調(diào)遞增,
,
,
單調(diào)遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
第三問中問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當且僅當x=
時取得
設(shè),
,則
,易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
解:(1)當
時,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增
,當
,即
時,
,
…………4分
(2),則
設(shè)
,
則,
單調(diào)遞增,
,
,
單調(diào)遞減,
,因為對一切
,
恒成立,
…………9分
(3)問題等價于證明,
,
由(1)可知,
的最小值為
,當且僅當x=
時取得
設(shè),
,則
,易得
。當且僅當x=1時取得.從而對一切
,都有
成立
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意
,
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式
恒成立,問題等價于
只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
........4分
(II)若對任意不等式
恒成立,
問題等價于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,
;
當b>2時,;
............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以實數(shù)b的取值范圍是
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)若函數(shù)在區(qū)間
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(II)當時,不等式
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域為
,則
令
,
則,
當時,
;當
時,
在(0,1)上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
即當時,函數(shù)
取得極大值. (3分)
函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值,
,解得
(4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,則
,
,即
在
上單調(diào)遞增, (7分)
,從而
,故
在
上單調(diào)遞增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,當時,
恒成立,即
,
令,則
, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值;
(3)已知,命題p:關(guān)于x的不等式
對函數(shù)
的定義域上的任意
恒成立;命題q:指數(shù)函數(shù)
是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】第一問中,利用由 即
第二問中,,
得:
,
第三問中,由在函數(shù)的定義域上
的任意
,
,當且僅當
時等號成立。當命題p為真時,
;而命題q為真時:指數(shù)函數(shù)
.因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以
當命題p為真,命題q為假時;當命題p為假,命題q為真時分為兩種情況討論即可 。
解:(1)由 即
(2),
得:
,
(3)由在函數(shù)的定義域上
的任意
,
,當且僅當
時等號成立。當命題p為真時,
;而命題q為真時:指數(shù)函數(shù)
.因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以
當命題p為真,命題q為假時,
當命題p為假,命題q為真時,,
所以
在數(shù)列中,
,其中
,對任意
都有:
;(1)求數(shù)列
的第2項和第3項;
(2)求數(shù)列的通項公式
,假設(shè)
,試求數(shù)列
的前
項和
;
(3)若對一切
恒成立,求
的取值范圍。
【解析】第一問中利用)同理得到
第二問中,由題意得到:
累加法得到
第三問中,利用恒成立,轉(zhuǎn)化為最小值大于等于即可。得到范圍。
(1)同理得到
……2分
(2)由題意得到:
又
……5分
……8分
(3)
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