題目列表(包括答案和解析)
設(shè)點(diǎn)是拋物線
的焦點(diǎn),
是拋物線
上的
個(gè)不同的點(diǎn)(
).
(1) 當(dāng)時(shí),試寫(xiě)出拋物線
上的三個(gè)定點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時(shí),若
,
求證:;
(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:
① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問(wèn)利用拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過(guò)作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問(wèn)設(shè),分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問(wèn)中①取時(shí),拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為
,設(shè)
,
分別過(guò)作拋物線
的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,
故可取滿(mǎn)足條件.
(2)設(shè),分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
;
所以.
(3) ①取時(shí),拋物線
的焦點(diǎn)為
,
設(shè),
分別過(guò)
作拋物線
的準(zhǔn)線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個(gè)當(dāng)
時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過(guò)
作
拋物線的準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān),所以只要將這
點(diǎn)都取在
軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以
.
(說(shuō)明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿(mǎn)足條件且的一組
個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)
(
)滿(mǎn)足
”,即:
“當(dāng)時(shí),若
,且點(diǎn)
的縱坐標(biāo)
(
)滿(mǎn)足
,則
”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè)
,
分別過(guò)作拋物線
準(zhǔn)線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對(duì)稱(chēng)”,即:
“當(dāng)時(shí),若
,且點(diǎn)
與點(diǎn)
為偶數(shù),
關(guān)于
軸對(duì)稱(chēng),則
”.此命題為真.(證略)
已知數(shù)列滿(mǎn)足
,
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和
.
【解析】第一問(wèn)中,利用,得到
從而得證
第二問(wèn)中,利用∴ ∴
分組求和法得到結(jié)論。
解:(1)由題得 ………4分
……………………5分
∴數(shù)列是以2為公比,2為首項(xiàng)的等比數(shù)列;
……………………6分
(2)∴
……………………8分
∴
……………………9分
∴
已知為第三象限角,
.
(1)化簡(jiǎn)
(2)若,求
的值 (本小題滿(mǎn)分10分)
【解析】第一問(wèn)利用
第二問(wèn)∵ ∴
從而
,從而得到三角函數(shù)值。
解:(1)
(2)∵
∴ 從而
………………………8分
又為第三象限角
∴ ………………………10分
即的值為
(本小題滿(mǎn)分12分)
某市某通訊設(shè)備廠為適應(yīng)市場(chǎng)需求,提高效益,特投入98萬(wàn)元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備奔月8號(hào),并馬上投入生產(chǎn).第一年需要的各種費(fèi)用是12萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始,所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬(wàn)元,而每年因引入該設(shè)備可獲得的年利潤(rùn)為50萬(wàn)元.
請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),解決下列問(wèn)題:
(1)引進(jìn)該設(shè)備多少年后,開(kāi)始盈利?
(2)引進(jìn)該設(shè)備若干年后,有兩種處理方案:
第一種:年平均盈利達(dá)到最大值時(shí),以26萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出;
第二種:盈利總額達(dá)到最大值時(shí),以8萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出.
問(wèn)哪種方案較為合算?并說(shuō)明理由.
(本小題滿(mǎn)分12分)
某市某通訊設(shè)備廠為適應(yīng)市場(chǎng)需求,提高效益,特投入98萬(wàn)元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備奔月8號(hào),并馬上投入生產(chǎn).第一年需要的各種費(fèi)用是12萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始,所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬(wàn)元,而每年因引入該設(shè)備可獲得的年利潤(rùn)為50萬(wàn)元.
請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),解決下列問(wèn)題:
(1)引進(jìn)該設(shè)備多少年后,開(kāi)始盈利?
(2)引進(jìn)該設(shè)備若干年后,有兩種處理方案:
第一種:年平均盈利達(dá)到最大值時(shí),以26萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出;
第二種:盈利總額達(dá)到最大值時(shí),以8萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出.
問(wèn)哪種方案較為合算?并說(shuō)明理由.
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