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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

已知函數

(1)證明:

(2)若數列的通項公式為,求數列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設數列滿足:,設,

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數,恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿分14分)已知,點軸上,點軸的正半軸,點在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當點軸上移動時,求動點的軌跡方程;

(Ⅱ)過的直線與軌跡交于兩點,又過、作軌跡的切線、,當,求直線的方程.

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(本小題滿分14分)設函數

 (1)求函數的單調區(qū)間;

 (2)若當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數的取值范圍。

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(本小題滿分14分)

已知,其中是自然常數,

(1)討論時, 的單調性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,;

(3)是否存在實數,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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(本小題滿分14分)

設數列的前項和為,對任意的正整數,都有成立,記。

(I)求數列的通項公式;

(II)記,設數列的前項和為,求證:對任意正整數都有;

(III)設數列的前項和為。已知正實數滿足:對任意正整數恒成立,求的最小值。

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一、選擇題

1,3,5

2.B 利用數形結合求解,令的交點個數.

3.C 解析:取滿足可得答案C.

4.B 解析:取答案各區(qū)間的特點值代入檢驗即可.

5.D 解析:B、C的函數周期為2,不合題意,A的函數在區(qū)間上為增函數,不合題意

6.D 解析:由a1=2知答案A不正確,再由a1+a2=S2=4a2­可得答案B、C不正確

7.A 解析:

     ,故選A.

8.A 解析:

     =2k+,故選A.

9.D 解析:滿足

      ,故a的取值范圍是,故選D.

10.B 解析:①、②正確,③、④錯誤,因為③、④中對于虛數的情況沒有大小關系,故選B.

二、填空題

11.答案:1-i   解析:

12.答案:81     解析:

13.答案:   解析:∵,當且僅當時取等號.

14.答案:18     解析:每行的數字取值從(n-1)2+1到n2,而172<300<182,故300在第18行.

三、解答題:

15.解:∵,

    ∴命題P為真時

命題P為假時

命題Q為真時,

命題Q為假時

由“P\/Q”為真且“P/\Q”為假,知P、Q有且只有一個正確.

情形(1):P正確,且Q不正確

情形(2):P不正確,且Q正確

綜上,a取值范圍是

另解:依題意,命題P為真時,0<a<1

曲線軸交于兩點等價于,

  故命題Q為真時,

由“P\/Q”為真且“P/\Q”為假,知P、Q有且只有一個正確.

等價于P、Q為真時在數軸表示圖形中有且只有一個陰影的部分.

(注:如果答案中端點取了開區(qū)間,扣2分)

16.解:設此工廠應分別生產甲、乙兩種產品x噸、y噸. 獲得利潤z萬元

    作出可行域如右圖

利潤目標函數z=6x+12y

由幾何意義知當直線l:z=6x+12y,經過可行域上的點M時,z=6x+12y取最大值.

解方程組 ,得M(20,24) 

答:生產甲種產品20t,乙種產品24t,才能使此工廠獲得最大利潤

17.解:(Ⅰ)∵A+B+C=180°

    由 

    ∴  

    整理,得      解得:  

    ∵    ∴C=60° 

(Ⅱ)由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+b2-2ab

=25-3ab 

  

18.解:(1)由條件得: 

(2)

∴6Tn=6+6×62+11×63+…+(5n-4)6n  ②

①-②:

 

19.解:設AM的長為x米(x>3)

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        …………3分

      (Ⅰ)由SAMPN>32得

      即AM長的取值范圍是(3,4)

      (Ⅱ)令

      ∴當上單調遞增,x<6,,函數在(3,6)上單調遞減

      ∴當x=6時,取得最小值即SAMPN取得最小值24(平方米)

      此時|AM|=6米,|AN|=4米 

          答:當AM、AN的長度分別是6米、4米時,矩形AMPN的面積最小,最小面積是24平方米.   

          另解:以AM、AN分別為x、y軸建立直角坐標系,

      由C在直線MN上得

      ∴AM的長取值范圍是(3,4)

      (Ⅱ)∵時等號成立.

      ∴|AM|=6米,|AN|=4米時,SAMPN達到最小值24

      答:當AM、AN的長度分別是6米、4米時,矩形AMPN的面積最小,最小面積是24平方米.

      20.解:(1)設x<0,則-x>0

      為偶函數,  ∴

      (2)∵為偶函數,∴=0的根關于0對稱.

      =0恰有5個不同的實數解,知5個實根中有兩個正根,二個負根,一個零根.

      且兩個正根和二個負根互為相反數

      ∴原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點

      下面研究x>0時的情況

      為單調增函數,故不可能有兩實根

      ∴a>0  令

      遞減,

      處取到極大值

      又當

      要使軸有兩個交點當且僅當>0

      解得,故實數a的取值范圍(0,

      方法二:

      (2)∵為偶函數, ∴=0的根關于0對稱.

      =0恰有5個不同的實數解知5個實根中有兩個正根,二個負根,一個零根.

      且兩個正根和二個負根互為相反數

      ∴原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點

      下面研究x>0時的情況

      與直線交點的個數.

      ∴當時,遞增與直線y=ax下降或是x國,

      故交點的個數為1,不合題意  ∴a>0

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          • 設切點

            ∴切線方為 

            由切線與y=ax重合知

            故實數a的取值范圍為(0,

             

             

             

             

             


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