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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數。

（1）證明：

（2）若數列的通項公式為，求數列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設數列滿足：，設，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設函數

 （1）求函數的單調區(qū)間；

 （2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。

（I）求數列的通項公式；

（II）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

（III）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。

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一、選擇題

1,3,5

2．B 利用數形結合求解，令的交點個數.

3．C 解析：取滿足可得答案C.

4．B 解析：取答案各區(qū)間的特點值代入檢驗即可.

5．D 解析：B、C的函數周期為2，不合題意，A的函數在區(qū)間上為增函數，不合題意

6．D 解析：由a1=2知答案A不正確，再由a1+a2=S2=4a2­可得答案B、C不正確

7．A 解析：

     ，故選A.

8．A 解析：

     =2k+，故選A.

9．D 解析：滿足

      ，故a的取值范圍是，故選D.

10．B 解析：①、②正確，③、④錯誤，因為③、④中對于虛數的情況沒有大小關系，故選B.

二、填空題

11．答案：1－i   解析：

12．答案：81     解析：

13．答案：   解析：∵，當且僅當時取等號.

14．答案：18     解析：每行的數字取值從（n－1）2+1到n2，而172<300<182，故300在第18行.

三、解答題：

15．解：∵，

    ∴命題P為真時

命題P為假時

命題Q為真時，

命題Q為假時

由“P\/Q”為真且“P/\Q”為假，知P、Q有且只有一個正確.

情形（1）：P正確，且Q不正確

情形（2）：P不正確，且Q正確

綜上，a取值范圍是

另解：依題意，命題P為真時，0<a<1

曲線軸交于兩點等價于，

得   故命題Q為真時，

由“P\/Q”為真且“P/\Q”為假，知P、Q有且只有一個正確.

等價于P、Q為真時在數軸表示圖形中有且只有一個陰影的部分.

（注：如果答案中端點取了開區(qū)間，扣2分）

16．解：設此工廠應分別生產甲、乙兩種產品x噸、y噸. 獲得利潤z萬元

    作出可行域如右圖

利潤目標函數z=6x+12y

由幾何意義知當直線l：z=6x+12y，經過可行域上的點M時，z=6x+12y取最大值.

解方程組 ，得M（20，24） 

答：生產甲種產品20t，乙種產品24t，才能使此工廠獲得最大利潤

17．解：（Ⅰ）∵A+B+C=180°

    由 

    ∴  

    整理，得      解得：  

    ∵    ∴C=60° 

（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab

∴=25－3ab 

∴  

18．解：（1）由條件得： 

（2） ①

∴6Tn=6+6×62+11×63+…+（5n－4）6n  ②

①－②：

∴ 

19．解：設AM的長為x米(x>3)

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      ∴  …………3分

      （Ⅰ）由SAMPN>32得，

      ∵

      即AM長的取值范圍是（3，4）

      （Ⅱ）令

      ∴當上單調遞增，x<6，，函數在（3，6）上單調遞減

      ∴當x=6時，取得最小值即SAMPN取得最小值24（平方米）

      此時|AM|=6米，|AN|=4米 

          答：當AM、AN的長度分別是6米、4米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積是24平方米.   

          另解：以AM、AN分別為x、y軸建立直角坐標系，

      設

      由C在直線MN上得

      ∴

      ∴AM的長取值范圍是（3，4）

      （Ⅱ）∵時等號成立.

      ∴|AM|=6米，|AN|=4米時，SAMPN達到最小值24

      答：當AM、AN的長度分別是6米、4米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積是24平方米.

      20．解：（1）設x<0，則－x>0

      ∵為偶函數，  ∴

      （2）∵為偶函數，∴=0的根關于0對稱.

      由=0恰有5個不同的實數解，知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根.

      且兩個正根和二個負根互為相反數

      ∴原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點

      下面研究x>0時的情況

      ∵

      即 為單調增函數，故不可能有兩實根

      ∴a>0  令

      當遞減，

      ∴處取到極大值

      又當

      要使軸有兩個交點當且僅當>0

      解得，故實數a的取值范圍（0，）

      方法二：

      （2）∵為偶函數， ∴=0的根關于0對稱.

      由=0恰有5個不同的實數解知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根.

      且兩個正根和二個負根互為相反數

      ∴原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點

      下面研究x>0時的情況

      與直線交點的個數.

      ∴當時，遞增與直線y=ax下降或是x國，

      故交點的個數為1，不合題意  ∴a>0

        
 
        
  
  
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            設切點
            ∴切線方為  
            由切線與y=ax重合知
            故實數a的取值范圍為（0，）
             
             
             
             
             
            		
            
	
	
            
		
            


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