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（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；

   （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明:；

   （Ⅲ）設(shè)，證明：對任意的正整數(shù)n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中a為常數(shù).

   （Ⅰ）若當(dāng)恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間.

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一、選擇題:   1．B  2．B  3．D  4．C  5．C  6．C  7．D  8．A  9．C  10．B

二、填空題:  11．  12．  13．  14．  15．1

三、解答題:

16.解: （Ⅰ）解：，        （1分）

           （3分）

                                   （4分）

       （6分）                 

（Ⅱ）解：                （7分）

       由      得   （8分）

           由         得          （9分）

            （11分）

                                             （12分）

 17解: 設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800m².         （2分）

∴蔬菜的種植面積，  （5分）

∵，

∴，                                          （7分）

∴（m²），                                    （9分）

當(dāng)且僅當(dāng)，即時， m².              （11分）

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648 m².                                                     （12分）

18解:（Ⅰ）證明：，

        ∴，則 (2分)

又，則

∴     (4分)

   （Ⅱ）證明：依題意可知：是中點(diǎn)

   則，而

      ∴是中點(diǎn)   (6分)

       在中，

∴           (8分)

（Ⅲ）解：

        ∴，而

        ∴  ∴   (10分)

        是中點(diǎn)

        ∴是中點(diǎn)  ∴且

        ∴

        ∴中，

         ∴    (12分)

     ∴   (14分)

19解: 圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：    (2分)

假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a,b）

由于�、�   (5分)

直線的方程為        (6分)

        (7分)

即：　　　　�、�             (10分)

由①②得：                          (11分)

當(dāng)       (12分)

當(dāng)      (13分)

故這樣的直線l 是存在的，方程為x-y+4=0或x-y+1=0.       (14分)

20解: 解(Ⅰ) a_l0=10,  a₂₀=10+10d=40,   ∴d=3            (2分)

(Ⅱ) a₃₀= a₂₀+10d=10(1+d+d²)  (d≠0)                 (4分)

a₃₀=10[(d+)²+],

當(dāng)d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)時, a₃₀∈[,+∞].              (7分)

(Ⅲ) 續(xù)寫數(shù)列: 數(shù)列a₃₀，a₃₁,…，a₄₀是公差為d⁴的等差數(shù)列   (8分)

一般地,可推廣為:無窮數(shù)列{ a_n},其中a_l，a₂…，a₁₀是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列,

當(dāng)n≥1時, 數(shù)列a_10n，a_10n+1,…，a_10(n+1)是公差為dⁿ的等差數(shù)列.        (9分)

研究的問題可以是:試寫出a_10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求a_10(n+1)的取值范圍   (11分)

研究的結(jié)論可以是: 由a₄₀= a₃₀+10d³=10(1+d+d²+ d³),

依次類推可得  a_10(n+1)= 10(1+d+d²+…+ dⁿ)=    10?(d≠1),

                                          10(n+1)      (d=1)

當(dāng)d>0時, a_10(n+1)的取值范圍為(10, +∞)等                         (14分)

21解:（Ⅰ）由過點(diǎn)P且以P（1，－2）為切點(diǎn)的直線的斜率，

所求直線方程：  (3分)

   （Ⅱ）設(shè)過P（1，－2）的直線l與切于另一點(diǎn)

知：

即：

或故所求直線的斜率為：

即         (8分)

   （Ⅲ）由（Ⅱ）可知則

在上單調(diào)遞增， (11分)

在

得

為兩極值點(diǎn)，在時，

上單調(diào)遞增，

即

        (14分)