題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為
的正方形,
、
分別為
、
的中點,側(cè)面
,且
.
(1)平面是否垂直于平面
?
(2)求三棱錐的體積.
如圖,在四棱錐中,底面
是
邊長為的菱形,
,
平面
,
與平面
所成角的大小為
,
為
的中點.
(1)求四棱錐的體積;
(2)求異面直線與
所成角的大�。ńY(jié)果用
反三角函數(shù)表示).
如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為
的菱形,
,
底面
,
,
為
的中點,
為
的中點.
(Ⅰ)證明:直線平面
;
(Ⅱ)求異面直線與
所成角的大��;
(Ⅲ)求點到平面
的距離.
如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為2的菱形,且
,
為正三角形,
為
的中點,
為棱
的中點
(1)求證:平面
(2)求二面角的大小
如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為2的正方形,側(cè)面
底面
,且
為等腰直角三角形,
,
、
分別為
、
的中點.
(1)求證://平面
;
(2)若線段中點為
,求二面角
的余弦值.
一.填空題:
1.; 2.
;
3.
4.2; 5.4;
6.45; 7.; 8.8;
9.3; 10.
.
二.選擇題:11.B ; 12. C; 13. C.
三.解答題:
15.解:(Ⅰ)由已知可求得,正方形的面積
,……………………………2分
所以,求棱錐的體積
………………………………………4分
(Ⅱ)方法一(綜合法)
設(shè)線段的中點為
,連接
,
則為異面直線OC與
所成的角(或其補角) ………………………………..1分
由已知,可得,
為直角三角形 ……………………………………………………………….2分
, ……………………………………………………………….4分
.
所以,異面直線OC與MD所成角的大小. …………………………..1分
方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,
則,
……………………………………………………2分
,
,
………………………………………………………………………………..2分
設(shè)異面直線OC與MD所成角為,
.……………………………….. …………………………3分
OC與MD所成角的大小為
.…………………………………………………1分
16.[解一]由已知,在中,
,
,………………………….2分
由正弦定理,得……………………………6分
因此,…………………………………………5分
.……………………………………………………………………2分
[解二] 延長交地平線與
,…………………………………………………………………3分
由已知,得…………………………………………………4分
整理,得………………………………………………………………………8分
17.[解](Ⅰ)函數(shù)的定義域為
…………………………………………………………2分
,
當(dāng)時,因為
,所以
,
,從而
,……………………………………………………..4分
所以函數(shù)的值域為
.………………………………………………………………..1分
(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù),則,對于任意的
,有
成立,
即
當(dāng)
時,函數(shù)
是奇函數(shù).…………………………………………………………….3分
當(dāng),且
時,函數(shù)
是非奇非偶函數(shù).………………………………………….1分
對于任意的
,且
,
……………………………………………..4分
當(dāng)
時,函數(shù)
是遞減函數(shù).………………………………………………..1分
18.[解](Ⅰ)因為,且
邊通過點
,所以
所在直線的方程為
.1分
設(shè)兩點坐標(biāo)分別為
.
由
得
.
所以. ……………………………………………..4分
又因為邊上的高
等于原點到直線
的距離.
所以,
. ……………………………………….3分
(Ⅱ)設(shè)所在直線的方程為
, ……………………………………………..1分
由得
. …………………………………..2分
因為在橢圓上,所以
. ………………….. …………..1分
設(shè)兩點坐標(biāo)分別為
,
則,
,
所以.……………………………………………..3分
又因為的長等于點
到直線
的距離,即
.……………..2分
所以.…………………..2分
所以當(dāng)時,
邊最長,(這時
)
此時所在直線的方程為
. ……………………………………………..1分
17.[解](Ⅰ)由題意,……………………………6分
(Ⅱ)解法1:由且
知
,
,
,
,
因此,可猜測(
) ………………………………………………………4分
將,
代入原式左端得
左端
即原式成立,故為數(shù)列的通項.……………………………………………………….3分
用數(shù)學(xué)歸納法證明得3分
解法2:由 ,
令得
,且
即,……… ……………………………………………………………..4分
所以
因此,
,...,
將各式相乘得………………………………………………………………………………3分
(Ⅲ)設(shè)上表中每行的公比都為,且
.因為
,
所以表中第1行至第9行共含有數(shù)列的前63項,故
在表中第10行第三列,………2分
因此.又
,所以
.…………………………………..3分
則.
…………………………………………2分
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